Question

16．如圖，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象與矩形OABC的邊AB、BC分別交于點E、F，若S_矩形OABC=2，則當k=1時，四邊形OAEF的面積最大．

Answer 1

分析 設B（a，b），則ab=2，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征得E（$\frac{k}$，b），F(xiàn)（a，$\frac{k}{a}$），所以BE=a-$\frac{k}$，BF=b-$\frac{k}{a}$，根據(jù)三角形面積公式和反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，利用四邊形OAEF的面積=S_矩形ABCO-S_△OCF-S_△BEF得到四邊形OAEF的面積=-$\frac{1}{4}$k²+$\frac{1}{2}$k+1，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題求解．

解答 解：設B（a，b），則ab=2，E（$\frac{k}$，b），F(xiàn)（a，$\frac{k}{a}$），
∴BE=a-$\frac{k}$，BF=b-$\frac{k}{a}$，
四邊形OAEF的面積=S_矩形ABCO-S_△OCF-S_△BEF
=2-$\frac{1}{2}$k-$\frac{1}{2}$（a-$\frac{k}$）（b-$\frac{k}{a}$）
=-$\frac{1}{4}$k²+$\frac{1}{2}$k+1，
當k=-$\frac{\frac{1}{2}}{2×（-\frac{1}{4}）}$=1時，四邊形OAEF的面積最大．
故答案為1．

點評 本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義：在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積是定值|k|．在反比例函數(shù)的圖象上任意一點象坐標軸作垂線，這一點和垂足以及坐標原點所構(gòu)成的三角形的面積是$\frac{1}{2}$|k|，且保持不變．