Question

14．如圖（1），在正方形ABCD和正方形CGEF中，點(diǎn)B、C、F在同一直線上，M是線段AE的中點(diǎn)，連接DM、FM．
（1）延長(zhǎng)DM交GE于點(diǎn)N，求證：MD=MN；
（2）求證：①DM⊥FM；②DM=FM；
（3）如圖（2），若將“正方形ABCD和正方形CGEF”改為“菱形ABCD和菱形CGEF”，且∠BCD=∠G=120°，其他條件不變，那么DM和FM又有怎樣的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系？直接寫(xiě)出結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）連接DF，NF，由四邊形ABCD和CGEF是正方形，得到AD∥BC，BC∥GE，于是得到AD∥GE，求得∠DAM=∠NEM，證得△MAD≌△MEN，得出DM=MN，AD=EN，推出△MAD≌△MEN，證出△DFN是等腰直角三角形，即可得到結(jié)論；
（3）延長(zhǎng)DM交GE于N，連接DF，NF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DM=MN，AD=EN，DF=NF，∠CFD=∠EFN，求得∠DFN=120°，得到∠DMF=90°，∠DFM=$\frac{1}{2}$∠DFN=60°，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵M(jìn)是線段AE的中點(diǎn)，
∴AM=EM，
∵AD∥BF∥GE，
∴∠DAC=∠GEC，
在△ADM與△ENM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAM=∠NEM}\\{AM=EM}\\{∠AMD=∠EMN}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△ENM，
∴MD=MN；
（2）如圖（1），DM=FM，DM⊥FM，
證明：連接DF，NF，
∵四邊形ABCD和CGEF是正方形，
∴AD∥BC，BC∥GE，
∴AD∥GE，
∴∠DAM=∠NEM，
∵M(jìn)是AE的中點(diǎn)，
∴AM=EM，
在△MAD與△MEN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AMD=∠EMN}\\{AM=EM}\\{∠DAM=∠NEM}\end{array}\right.$，
∴△MAD≌△MEN，
∴DM=MN，AD=EN，
∵AD=CD，
∴CD=NE，
∵CF=EF，∠DCF=∠DCB=90°，
在△DCF與△NEF中，$\left\{\begin{array}{l}{CD=EN}\\{∠DCF=∠NEF}\\{CF=EF}\end{array}\right.$，
∴△DCF≌△NEF，
∴DF=NF，∠CFD=∠EFN，
∵∠EFN+∠NFC=90°，
∴∠DFC+∠CFN=90°，
∴∠DFN=90°，
∴DM⊥FM，DM=FM；
（3）如圖（1），DM=$\sqrt{3}$FM，DM⊥FM，
證明：延長(zhǎng)DM交GE于N，連接DF，NF，
∵四邊形ABCD和CGEF是菱形，
∴AD∥BC，BC∥GE，
∴AD∥GE，
∴∠DAM=∠NEM，
∵M(jìn)是AE的中點(diǎn)，
∴AM=EM，
在△MAD與△MEN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AMD=∠EMN}\\{AM=EM}\\{∠DAM=∠NEM}\end{array}\right.$，
∴△MAD≌△MEN，
∴DM=MN，AD=EN，
∵AD=CD，
∴CD=NE，
∵CF=EF，∠DCF=∠DCB=60°，
在△DCF與△NEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=EN}\\{∠DCF=∠NEF=60°}\\{CF=EF}\end{array}\right.$，
∴△DCF≌△NEF，
∴DF=NF，∠CFD=∠EFN，
∵∠EFN+∠NFC=120°，
∴∠DFC+∠CFN=120°，
∴∠DFN=120°，
∵DM=NM，
∴DM⊥FM，
∴∠DMF=90°，∠DFM=$\frac{1}{2}$∠DFN=60°，
∴$\frac{DM}{MF}$=$\sqrt{3}$，
∴DM=$\sqrt{3}$MF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定，正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，本題中的難點(diǎn)是輔助線的作法，作好輔助線找對(duì)解題的方向是本題解答的關(guān)鍵所在．