Question

6．如圖1，已知點(diǎn)A（-1，-4）是二次函數(shù)y=ax²+bx-3（a≠0）的圖象的頂點(diǎn)，且此二次函數(shù)的圖象與x軸的負(fù)半軸相交于點(diǎn)B，與y軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是線段AB上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線l與x軸垂直，垂足為D，且直線l與此二次函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)E．

（1）求此二次函數(shù)的解析式；
（2）求線段PE的長(zhǎng)度的最大值；
（3）如圖2，當(dāng)線段PE的長(zhǎng)度取最大值時(shí)，將直線l向右平移$\frac{1}{2}$個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后的直線稱為直線l₁，設(shè)點(diǎn)P₁是直線l₁與線段AB的交點(diǎn)，連接P₁C，CD₁．若△P₂CD₁與△P₁CD₁關(guān)于直線CD₁對(duì)稱，求點(diǎn)P₂的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)P₂是否在已知的二次函數(shù)的圖象上．

Answer 1

分析 （1）設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x+1）²-4，然后展開(kāi)得到a-4=-3，則求出a即可得到拋物線解析式；
（2）如圖1，先確定B（-3，0），C（0，-3），再利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式為y=-2x-6，則設(shè)E（x，x²+2x-3），則P（x，-2x-6），所以PE=-2x-6-（x²+2x-3）=-x²-4x-3，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題；
（3）如圖2，由（2）得到D（-2，0），則利用平移的性質(zhì)得D₁（-$\frac{3}{2}$，0），再求出P₁（-$\frac{3}{2}$，-3），于是可判斷P₁C∥x軸，D₁P₁=3，所以P₁C=$\frac{3}{2}$，接著利用對(duì)稱的性質(zhì)得P₂D₁=3，P₂C=$\frac{3}{2}$，設(shè)P₂（a，b），然后根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得到（a+$\frac{3}{2}$）²+b²=3²，a²+（b+3）²=（$\frac{3}{2}$）²，再解關(guān)于a、b的方程組即可得到點(diǎn)P₂的坐標(biāo)，于是可判斷點(diǎn)P₂是否在已知的二次函數(shù)的圖象上．

解答 解：（1）設(shè)拋物線的解析式y(tǒng)=a（x+1）²-4，
即y=ax²+2ax+a-4，
∴a-4=-3，解得a=1，
∴拋物線解析式為y=x²+2x-3；
（2）如圖1，
當(dāng)y=0時(shí)，x²+2x-3=0，解得x₁=-3，x₂=1，則B（-3，0），
當(dāng)x=0時(shí)，y=x²+2x-3=-3，則C（0，-3），
設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n，
把B（-3，0），A（-1，-4）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-3m+n=0}\\{-m+n=-4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-2}\\{n=-6}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=-2x-6，
設(shè)E（x，x²+2x-3），則P（x，-2x-6），
∵PE=-2x-6-（x²+2x-3）=-x²-4x-3=-（x+2）²+1，
∴當(dāng)x=-2時(shí)，線段PE的最大值為1；
（3）如圖2，
D（-2，0），
∵直線l向右平移$\frac{1}{2}$個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后的直線稱為直線l₁，
∴D₁（-$\frac{3}{2}$，0），
當(dāng)x=-$\frac{3}{2}$，y=-2x-6=-3，則P₁（-$\frac{3}{2}$，-3），
而C（0，-3），
∴P₁C∥x軸，D₁P₁=3，
∴P₁C=$\frac{3}{2}$，
∵△P₂CD₁與△P₁CD₁關(guān)于直線CD₁對(duì)稱，
∴P₂D₁=3，P₂C=$\frac{3}{2}$，
設(shè)P₂（a，b），
∴（a+$\frac{3}{2}$）²+b²=3²，a²+（b+3）²=（$\frac{3}{2}$）²，解得a=$\frac{9}{10}$，b=-$\frac{9}{5}$或a=-$\frac{3}{2}$，b=-3，
∴P₂點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{9}{10}$，-$\frac{9}{5}$），
當(dāng)x=$\frac{9}{10}$時(shí)，y=（$\frac{9}{10}$+1）²-4=-$\frac{39}{100}$，
∴點(diǎn)P₂不在已知的二次函數(shù)的圖象上．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)的圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．二次函數(shù)的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，記住兩點(diǎn)間的距離公式．