Question

17．如圖所示，?ABCD的頂點(diǎn)A、D在反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$（k＜0，x＜0）的圖象上，頂點(diǎn)B、C分別在坐標(biāo)軸上．
（1）求證：∠BAD=2∠OBC；
（2）若B（0，1），C（$\frac{\sqrt{5}}{5}$-1，0），AB=$\sqrt{5}$AD，求k的值．

Answer 1

分析 （1）先判斷出△CDF≌△BAE，進(jìn)而再判斷出△DFC∽△BOC，即可得出結(jié)論；
（2）先求出OB，OC，再用△DFC∽△BOC得出的比例式求出DF，CF，OF即可得出點(diǎn)D坐標(biāo)，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）如圖，延長(zhǎng)AB交x軸于G，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴CD=AB，AB∥CD，
∴∠OGB=∠BAE，∠DCF=∠OGB，
∴∠DCF=∠BAE，
過點(diǎn)A作AE⊥y軸于E，過點(diǎn)D作DF⊥x軸于F，延長(zhǎng)DC交y軸于G，
設(shè)A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
∴x₁y₁=x₂y₂=k在△CDF和△BAE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CFD=∠AEB=90°}\\{∠DCF=∠BAE}\\{CD=AB}\end{array}\right.$，
∴△CDF≌△BAE，
∴DF=BE=y₂，AE=CF=-x₁，
∵OE=y₁，OF=-x₂，
∴OB=y₁-y₂，OC=-x₂-（-x₁）=x₁-x₂，
∵OF•OC=y₂（x₁-x₂）=x₁y₂-x₂y₂，CF•OB=-x₁•（y₁-y₂）=x₁y₂-x₁y₁，
∴OF•OC=CF•OB，
∴$\frac{DF}{OB}=\frac{CF}{OC}$，
∵∠DFC=∠BOC=90°，
∴△DFC∽△BOC，
∴∠CDF=∠CBO，
∵DF∥y軸，
∴∠CDF=∠CGB=∠CBO，
∴∠BCD=∠CGB+∠CBO=2∠OBC，
∵∠BAO=∠BCO，
∴∠BAD=2∠OBC；
（2）∵B（0，1），C（$\frac{\sqrt{5}}{5}$-1，0），
∴OB=1，OC=1-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵△DFC∽△BOC，AB=$\sqrt{5}$AD，
∴$\frac{CD}{BC}=\frac{AB}{AD}=\frac{DF}{OB}=\frac{CF}{OC}$，
∴DF=$\sqrt{5}$，CF=$\sqrt{5}$-1，
∴OF=$\sqrt{5}$-1+1-$\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，$\sqrt{5}$），
∴k=-4．

點(diǎn)評(píng) 此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，解（1）的關(guān)鍵是構(gòu)造全等三角形和相似三角形，解（2）的關(guān)鍵是求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．