Question

4．如圖，已知矩形ABCD的兩條對角線相交于點O，過點A作AG⊥BD分別交BD、BC于點G、E．
（1）求證：BE²=EG•EA；
（2）連接CG，若BE=CE，求證：∠ECG=∠EAC．

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD是矩形，得到∠ABC=90°，得到∠ABC=∠BGE=90°，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）由（1）證得BE²=EG•EA，推出△CEG∽△AEC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∵AE⊥BD，
∴∠ABC=∠BGE=90°，
∵∠BEG=∠AEB，
∴△ABE∽△BGE，
∴$\frac{AE}{BE}=\frac{BE}{EG}$，
∴BE²=EG•EA；

（2）由（1）證得BE²=EG•EA，
∵BE=CE，
∴CE²=EG•EA，
∴$\frac{CE}{EG}$=$\frac{AE}{CE}$，
∵∠CEG=∠AEC，
∴△CEG∽△AEC，
∴∠ECG=∠EAC．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．