Question

4．（1）如圖1，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于O點，過點O的直線1與邊AB、CD分別交于點E、F，繞點O旋轉(zhuǎn)直線1，猜想直線1旋轉(zhuǎn)到什么位置時，四邊形AECF是菱形．證明你的猜想；
（2）若將（1）中四邊形ABCD改成矩形ABCD，使AB=4，BC=3．
①如圖2，繞點O旋轉(zhuǎn)直線1與邊AB、CD分別交于點E、F，將矩形ABCD沿EF折疊，當(dāng)點A與點C重合時，點D的對應(yīng)點為D′，連接DD′，求線段DF的長；
②如圖3，繞點O繼續(xù)旋轉(zhuǎn)直線1，使直線1與邊BC或BC的延長線交于點E，連接AE，將矩形ABCD沿AE折疊，點B的對應(yīng)點為B′，連接CB′得到△CEB′，當(dāng)△CEB′為直角三角形時，請直接寫出滿足條件的線段CE的長．

Answer 1

分析 （1）結(jié)論：當(dāng)EF⊥AC時，四邊形AECF是菱形．如圖1中，連接AF、CE．由△AOE≌△COF，推出AE=CF，由AE∥CF，推出四邊形AECF是平行四邊形，推出當(dāng)EF⊥AC時，四邊形AECF是菱形；
（2）①在Rt△ADC中，AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，由△COF∽△CDA，可得$\frac{CO}{CD}$=$\frac{CF}{CA}$，求出CF即可解決問題．
②分四種情形分別求解即可．

解答 解：（1）結(jié)論：當(dāng)EF⊥AC時，四邊形AECF是菱形．
理由：如圖1中，連接AF、CE．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，OA=OC，
∴∠DCA=∠BAC，
在△AOE和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOE=∠COF}\\{OA=OC}\\{∠OAE=∠OCF}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF，
∴AE=CF，∵AE∥CF，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∴當(dāng)EF⊥AC時，四邊形AECF是菱形．

（2）①如圖2中，

在Rt△ADC中，AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
由△COF∽△CDA，可得$\frac{CO}{CD}$=$\frac{CF}{CA}$，
∴$\frac{\frac{5}{2}}{4}$=$\frac{CF}{5}$，
∴CF=$\frac{25}{8}$，
∴DF=CD-CF=4-$\frac{25}{8}$=$\frac{7}{8}$．

②如圖3中，當(dāng)B′在對角線上時，△CEB′是直角三角形，易知AB′=AB=3，AC=5，CB′=1，
設(shè)EC=x，則BE=EB′=3-x，
在Rt△ECB′中，∵EC²=CB′²+EB′²，
∴1²+（3-x）²=x²，
∴x=$\frac{5}{3}$，
∴CE=$\frac{5}{3}$


如圖4中，當(dāng)B′在CD上時，△CEB′是直角三角形，
易知DB′=$\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}$=$\sqrt{7}$，CB′=4-$\sqrt{7}$，
設(shè)EC=x，則BE=EB′=3-x，
在Rt△ECB′中，∵EC²+CB′²=EB′²，
∴（4-$\sqrt{7}$）²+x²=（3-x）²，
∴x=$\frac{4\sqrt{3}-7}{3}$，
∴CE=$\frac{4\sqrt{3}-7}{3}$．


如圖5中，當(dāng)B′在AD的延長線上時，易知CE=DB′=AB-AD=1．


如圖6中，當(dāng)B′在CD的延長線上時，設(shè)EC=x，則EB=EB′=x+3，
在Rt△CEB′中，∵EB′²=EC²+CB′²，
∴（x+3）²=x²+（4+$\sqrt{7}$）²，
∴x=$\frac{7+4\sqrt{3}}{3}$，
∴CE=$\frac{7+4\sqrt{3}}{3}$，

綜上所述，滿足條件的CE的長為$\frac{5}{3}$或$\frac{4\sqrt{3}-7}{3}$或1或$\frac{7+4\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查四邊形綜合題、平行四邊形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，學(xué)會構(gòu)建方程解決問題，屬于中考壓軸題．