Question

18．正方形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，∠EOF=90°且兩條邊交直線AB于E，交直線BC于F．如圖①，當(dāng)點(diǎn)E、F分別在線段AB、BC上時(shí)，請(qǐng)你證明：BE+BF=BC．
（1）當(dāng)點(diǎn)E、F分別在AB、BC上時(shí)，如圖②、③，線段BE、BF、BC又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并對(duì)圖②的情況加以證明；
（2）若AB²+CA²=24，S△BOF=6，則EF=10$\sqrt{2}$，或2$\sqrt{26}$．

Answer 1

分析 如圖①由正方形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠BOC=90°，又因?yàn)椤螮OF=90°，得到∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，證得∠1=∠3，
由正方形的性質(zhì)得到∠4=∠5=45°，BO=CO，證得△BOE≌△COF，得到對(duì)應(yīng)邊相等由等量代換得到結(jié)論；
（1）的解題思路與以上相同；
（2）由AB²+CA²=24，解得AB=2$\sqrt{2}$，根據(jù)S△BOF=6，求得BF，根據(jù)圖①和圖③分兩種情況求解．

解答 證明：如圖①，∵正方形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，
∴∠BOC=90°，
∵∠EOF=90°，
∴∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∵∠4=∠5=45°，BO=CO，
在△BOE與△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠3}\\{OB=OC}\\{∠4=∠5}\end{array}\right.$，
∴△BOE≌△COF，
∴BE=CF，
∴BE+BF=BF+CF=BC，
即BE+BF=BC；

（1）如圖②，∵正方形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，
∴∠BOC=90°，
∵∠EOF=90°，
∴∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∵OB=OC，∠OBE=∠OCF=135°，
在△BOE與△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠3}\\{OB=OC}\\{∠OBE=∠OCF}\end{array}\right.$，
∴△BOE≌△COF，
∴BE=CF，
∴BE=BF-BC；

（2）EF=2$\sqrt{26}$，10$\sqrt{2}$，
如圖③，連接EF，
∵AB²+CA²=24，
又∵AC²=2AB²，
∴AB=2$\sqrt{2}$，
∵S_△BOF=6，
∴BF=6$\sqrt{2}$，
由（1）證得AE=BF=6$\sqrt{2}$，
∴BE=8$\sqrt{2}$，
在RT△BEF中，
EF=$\sqrt{{BF}^{2}{+BE}^{2}}$=10$\sqrt{2}$，
如圖①EF=$\sqrt{{BF}^{2}{+BE}^{2}}$=2$\sqrt{26}$．
故答案為：10$\sqrt{2}$，2$\sqrt{26}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，注意（2）中不要漏解．