Question

14．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，P是AB邊上一動點，PD⊥AC于點D，點E在P的右側(cè)，且PE=1，連結(jié)CE．P從點A出發(fā)，沿AB方向運動，當(dāng)E到達(dá)點B時，P停止運動．在整個運動過程中，圖中陰影部分面積S₁+S₂的大小變化情況是（　　）

• A． 一直減小
• B． 一直不變
• C． 先增大后減小
• D． 先減小后增大

Answer 1

分析 設(shè)PD=x，AB邊上的高為h，想辦法求出AD、h，構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題即可．

解答 解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=4，BC=2，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，設(shè)PD=x，AB邊上的高為h，
h=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∵PD∥BC，
∴$\frac{PD}{BC}$=$\frac{AD}{AC}$，
∴AD=2x，AP=$\sqrt{5}$x，
∴S₁+S₂=$\frac{1}{2}$•2x•x+$\frac{1}{2}$（2$\sqrt{5}$-1-$\sqrt{5}$x）•$\frac{4\sqrt{5}}{5}$=x²-2x+4-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=（x-1）²+3-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴當(dāng)0＜x＜1時，S₁+S₂的值隨x的增大而減小，
當(dāng)1≤x≤2時，S₁+S₂的值隨x的增大而增大．
故選D．

點評 本題考查動點問題的函數(shù)圖象、三角形面積，平行線的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建二次函數(shù)，學(xué)會利用二次函數(shù)的增減性解決問題，屬于中考常考題型．