Question

18．如圖，E、F分別是正方形ABCD的邊CD，AD上的點(diǎn)，且CE=DF，AE，BF相交于點(diǎn)O，下列結(jié)論①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S_△AOB=S_{四邊形DEOF}中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 4個(gè)
• B． 3個(gè)
• C． 2個(gè)
• D． 1個(gè)

Answer 1

分析 根據(jù)正方形的性質(zhì)可得∠BAF=∠D=90°，AB=AD=CD，然后求出AF=DE，再利用“邊角邊”證明△ABF和△DAE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AE=BF，從而判定出①正確；再根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠ABF=∠DAE，然后證明∠ABF+∠BAO=90°，再得到∠AOB=90°，從而得出AE⊥BF，判斷②正確；假設(shè)AO=OE，根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)可得AB=BE，再根據(jù)直角三角形斜邊大于直角邊可得BE＞BC，即BE＞AB，從而判斷③錯(cuò)誤；根據(jù)全等三角形的面積相等可得S_△ABF=S_△ADE，然后都減去△AOF的面積，即可得解，從而判斷④正確．

解答 解：在正方形ABCD中，∠BAF=∠D=90°，AB=AD=CD，
∵CE=DF，
∴AD-DF=CD-CE，
即AF=DE，
在△ABF和△DAE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}&{\;}\\{∠BAF=∠D=90°}&{\;}\\{AF=DE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴AE=BF，故①正確；
∠ABF=∠DAE，
∵∠DAE+∠BAO=90°，
∴∠ABF+∠BAO=90°，
在△ABO中，∠AOB=180°-（∠ABF+∠BAO）=180°-90°=90°，
∴AE⊥BF，故②正確；
假設(shè)AO=OE，
∵AE⊥BF（已證），
∴AB=BE（線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等），
∵在Rt△BCE中，BE＞BC，
∴AB＞BC，這與正方形的邊長AB=BC相矛盾，
所以，假設(shè)不成立，AO≠OE，故③錯(cuò)誤；∵△ABF≌△DAE，
∴S_△ABF=S_△DAE，
∴S_△ABF-S_△AOF=S_△DAE-S_△AOF，
即S_△AOB=S_{四邊形DEOF}，故④正確；
綜上所述，錯(cuò)誤的有③．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了正方形的四條邊都相等，每一個(gè)角都是直角的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，綜合題但難度不大，求出△ABF和△DAE全等是解題的關(guān)鍵，也是本題的突破口．