Question

8．如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象與反比例函數(shù)y=$\frac{12}{x}$的圖象交于A、B兩點，與x軸交于點C；點A在第一象限，點B的坐標為（-6，n）；E為x軸正半軸上一點，且tan∠AOE=$\frac{4}{3}$．
（1）求點A的坐標；
（2）求一次函數(shù)的表達式；
（3）求△AOB的面積．

Answer 1

分析 （1）過A作AH⊥x軸于點H，根據(jù)tan∠AOE=$\frac{AH}{OH}$=$\frac{4}{3}$，設OH=3k，AH=4k，即A的坐標為（3k，4k），代入反比例函數(shù)解析式即可求出A點的坐標；
（2）求出B點的坐標，把A、B的坐標代入y=kx+b即可求出k、b的值，即可求出答案；
（3）求出OC，根據(jù)三角形面積公式求出即可．

解答 解：（1）過A作AH⊥x軸于點H，

在Rt△AOH中，∵tan∠AOE=$\frac{AH}{OH}$=$\frac{4}{3}$，
∴設OH=3k，AH=4k，
即A的坐標為（3k，4k），其中k＞0，
∵A在y=$\frac{12}{x}$圖象上，
∴4k=$\frac{12}{3k}$，
解得：k=1（負數(shù)舍去），
∴A的坐標為（3，4）；

（2）∵點B（-6，n）在y=$\frac{12}{x}$的圖象上，
∴代入得：n=-2，
即B的坐標為（-6，-2），
把A、B的坐標代入y=kx+b（k≠0）得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=4}\\{-6k+b=-2}\end{array}\right.$，
解得：k=$\frac{2}{3}$，b=2，
∴一次函數(shù)的表達式是y=$\frac{2}{3}$x+2；

（3）在y=$\frac{2}{3}$x+2中令y=0，則x=-3，
即C（-3，0），
所以S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC=$\frac{1}{2}$×|-3|×4+$\frac{1}{2}$×|-3|×|-2|=9，
即△AOB的面積是9．

點評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式等知識點，能用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式是解此題的關鍵．