Question

1．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，AD=6，BC=14，DC=4，邊長為2的正方形EFGH自左向右在直線BC上以1個單位/秒的速度運動，H、E、B、C在同一直線上，從E、B重合到E、C重合時停止運動，若運動時間為t秒，連接AC．
（1）經過多少秒時，正方形EFGH的對角線EG所在直線經過點A；
（2）在平移過程中，正方形EFGH與梯形ABCD重疊部分的面積為S，直接寫出S與t之間的函數關系式，并寫出相應的t的取值范圍；
（3）若BC的中點為P，直線HG、EF與折線B-A-C分別交于M、N，是否存在這樣的t值，使以P、M、N為頂點的三角形是直角三角形？若存在，求出相應的t值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先作AP⊥BC于點P，判斷出四邊形ADCP是矩形，即可推得CP=AD=6，AP=CD=4；然后判斷出△APE為等腰直角三角形，求出PE、BE的長度各是多少，即可判斷出
經過多少秒時，正方形EFGH的對角線EG所在直線經過點A．
（2）根據題意，分4種情況：①當0≤t≤2時；②當2＜t≤4時；③當4＜t≤6時；④當6＜t≤14時；求出S與t之間的函數關系式，并寫出相應的t的取值范圍即可．
（3）存在t=5.6，使以P、M、N為頂點的三角形是直角三角形．首先根據點P是BC的中點，求出BP的值；然后根據PN⊥MN，NE⊥BC，可得BN²=BE•BP；最后在直角三角形BNP中，求出BN的值，即可求出BE的值，判斷出當t為何值時，以P、M、N為頂點的三角形是直角三角形即可．

解答 解：（1）如圖1，作AP⊥BC于點P，，
∵AP⊥BC，∠D=90°，AD∥BC，
∴四邊形ADCP是矩形，
∴CP=AD=6，AP=CD=4，
又∵BC=14，
∴BP=14-6=8，
當正方形EFGH的對角線EG所在直線經過點A時，△AEP=45°，
∵∠APE=90°，
∴∠EAP=90°-45°=45°，
∴△APE為等腰直角三角形，
∴PE=AP=4，
∴BE=BP+PE=8+4=12，
∴經過12秒時，正方形EFGH的對角線EG所在直線經過點A．

（2）①當0≤t≤2時，如圖2，作AP⊥BC于點P，設EF與AB交于點I，，
由（1），可得
AP=4，BP=14-6=8，
∴tan∠ABP=$\frac{AP}{BP}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，
∴IE=BE•tan∠ABP=$\frac{1}{2}$t，
∴S=$\frac{1}{2}BE•IE$=$\frac{1}{2}t•\frac{1}{2}t$=$\frac{1}{4}$t²．

②當2＜t≤4時，如圖3，設EF與AB交于點I，GH與AB交于點K，，
∵BE=t，
∴IE=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{1}{2}$t，
∵BH=BE-HE=t-2，
∴KH=$\frac{1}{2}$BH=$\frac{1}{2}$（t-2），
∴S=S_{四邊形EIKH}=$\frac{1}{2}$（IE+KH）•HE=$\frac{1}{2}×$[$\frac{1}{2}t$$+\frac{1}{2}$（t-2）]×2=t-1．

③當4＜t≤6時，如圖4，設GF與AB交于點O，GH與AB交于點K，OQ⊥BC與點Q，，
∵BH=BE-HE=t-2，
∴KH=$\frac{1}{2}$BH=$\frac{1}{2}$（t-2），
∴GK=2-KH=2-$\frac{1}{2}$（t-2）=3-$\frac{1}{2}t$，
∵OQ=EF=2，
∴BQ=2÷$\frac{1}{2}$=4，
∴HQ=BQ-BH=4-（t-2）=6-t，
∴GO=HQ=6-t，
∴S=2×2-$\frac{1}{2}$（3-$\frac{1}{2}$t）（6-t）=-$\frac{1}{4}$t²+3t-5．

④當6＜t≤14時，如圖5，，
S=S_{正方形EFGH}=2×2=4．
綜上，可得
S=$\left\{\begin{array}{l}{{\frac{1}{4}t}^{2}，0≤t≤2}\\{t-1，2＜t≤4}\\{-{\frac{1}{4}t}^{2}+3t-5，4＜t≤6}\\{4，6＜t≤14}\end{array}\right.$．

（3）存在t=5.6，使以P、M、N為頂點的三角形是直角三角形．
如圖6，∠PNM=90°，PN⊥MN，，
∵點P是BC的中點，
∴BP=$\frac{1}{2}BC$=$\frac{1}{2}×14$=7，
∵PN⊥MN，NE⊥BC，
∴BN²=BE•BP，
∵tan∠NBP=$\frac{1}{2}$，
∴BN=2NP，
∴（2NP）²+NP²=BP²=7²=49，
解得NP=$\frac{7}{5}\sqrt{5}$，
∴BN=2NP=2×$\frac{7}{5}\sqrt{5}$=$\frac{14}{5}$$\sqrt{5}$，
又∵BN²=BE•BP，
∴BE=$\frac{{BN}^{2}}{BP}=\frac{{（\frac{14}{5}\sqrt{5}）}^{2}}{7}$=$\frac{\frac{196}{5}}{7}=5.6$，
∴存在t=5.6，使以P、M、N為頂點的三角形是直角三角形．

點評 （1）此題主要考查了相似形綜合題，考查了分析推理能力，考查了分類討論思想的應用，考查了數形結合思想的應用，要熟練掌握．
（2）此題還考查了直角三角形的性質，三角形、梯形的面積的求法，以及正方形的性質和應用，要熟練掌握．