Question

13．拋物線y=x²+（k-2）x+1與x軸交于A（a，0）、B（b，0）兩點(diǎn)．拋物線的頂點(diǎn)是M，若等式k²-（a²+ka+1）（b²+kb+1）=0成立．
（1）求k值；
（2）拋物線是否存在一個(gè)N點(diǎn)，使△ABN的面積為4$\sqrt{3}$，求N的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）把A（a，0）、B（b，0）代入y=x²+（k-2）x+1得，a²+（k-2）a+1=0，b²+（k-2）b+1=0，則a²+ak+1=2a，b²+bk+1=2b，ab=1，代入等式即可求得k的值；
（2）根據(jù)三角形的面積公式求得三角形的高，即N的縱坐標(biāo)，代入解析式求得橫坐標(biāo)．

解答 解：（1）把A（a，0）、B（b，0）代入y=x²+（k-2）x+1得a²+（k-2）a+1=0，b²+（k-2）b+1=0，
則a²+ak+1=2a，b²+bk+1=2b，ab=1，
則k²-（a²+ka+1）（b²+kb+1）=0即k²-4ab=0，即k²-4=0，
解得：k=2或-2，
又∵△=（k-2）²-4≥0，
∴k=-2；
（2）拋物線的解析式是y=x²-4x+1，
則a+b=4，ab=1，
AB=$\sqrt{（a+b）^{2}-4ab}$=$\sqrt{16-4}$=2$\sqrt{3}$，
設(shè)△ABN中AB邊上的高是h，則$\frac{1}{2}$AB•h=4$\sqrt{3}$，
解得：h=4．
當(dāng)h=4時(shí)，x²-4x+1=4，
解得：x=2±$\sqrt{7}$，
則N的坐標(biāo)是（2+$\sqrt{7}$，4）或（2-$\sqrt{7}$，4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是對(duì)應(yīng)的一元二次方程的解．