Question

17．如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，DE∥AC交BC的延長線于點E．
（1）求證：△ABC≌△DCE；
（2）若CD=CE，求證：AC⊥BD．

Answer 1

分析 （1）由平行四邊形的性質得出AB=CD，AB∥CD，由平行線證出∠ABC=∠DCE，∠BAC=∠ACD，∠ACB=∠DEC，由AAS證明△ABC≌△DCE即可；
（2）由（1）得：△ABC≌△DCE，得出AC=DE，證出四邊形ACED是平行四邊形，得出AD=CE，證出AD=CD，因此四邊形ABCD是菱形，即可得出結論．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABC=∠DCE，∠BAC=∠ACD，
∵DE∥AC，
∴∠ACB=∠DEC，
在△ABC和△DCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABC=∠DCE}&{\;}\\{∠ACB=∠DEC}&{\;}\\{AB=DC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△DCE（AAS）；

（2）證明：由（1）得：△ABC≌△DCE；
∴AC=DE，
∵AC∥DE，
∴四邊形ACED是平行四邊形，
∴AD=CE，
∵CD=CE，
∴AD=CD，
∴四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．

點評 本題考查的是菱形的性質、全等三角形的判定與性質及平行四邊形的判定與性質，證明三角形全等是解決問題的關鍵．