Question

1．如圖，平行于x軸的直線AB與直線OB：y₁=kx相交于點(diǎn)B，C為OB的中點(diǎn)，以C為頂點(diǎn)的拋物線y₂=x²+bx+$\frac{1}{2}$經(jīng)過點(diǎn)A、B，直線CD⊥x軸于點(diǎn)D．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)及b的值；
（2）將拋物線平移，得到的拋物線y₃經(jīng)過點(diǎn)A、D，與直線OB交于點(diǎn)E、F，當(dāng)x為何值時(shí)，|y₃-y₁|的值隨x的增大而減�。�
（3）將拋物線再次作適當(dāng)?shù)钠揭�，得拋物線y₄=（x-h）²，若2＜x≤m時(shí)，y₄≤kx恒成立，求m的最大值．

Answer 1

分析 （1）過點(diǎn)B作BE⊥x軸，垂足為E，將x=0代入拋物線的解析式可得到y(tǒng)=$\frac{1}{2}$，從而可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后根據(jù)BE∥DC，可求得DC=$\frac{1}{4}$，然后利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得b=±1，然后再根據(jù)對(duì)稱軸的位置可知b=-1；
（2）將b=-1代入求得y₂=x²-x+$\frac{1}{2}$，然后可求得點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，從而得到點(diǎn)D的坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，0），由點(diǎn)A和點(diǎn)D的坐標(biāo)可求得y₃=x²-$\frac{3}{2}x$+$\frac{1}{2}$，然后再求得y₁=$\frac{1}{2}$x，然后可得到|y₃-y₁|=|x²-$\frac{3}{2}x$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}x$|=|x²-2x+$\frac{1}{2}$|，然后根據(jù)x²-2x+$\frac{1}{2}$＞0和x²-2x+$\frac{1}{2}$＜0，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，最后畫出函數(shù)|y₃-y₁|=|x²-2x+$\frac{1}{2}$|的圖象，根據(jù)函數(shù)圖象可求得答案；
（3）將x=2代入y=$\frac{1}{2}x$得；y=1．將x=2，y=1代入y₄=（x-h）²求得解得h=3，然后將y₄=（x-3）²與y₁=$\frac{1}{2}x$聯(lián)立可求得：x₁=2，x₂=4.5，從而的求得m的最大值為4.5．

解答 解：（1）過點(diǎn)B作BE⊥x軸，垂足為E．

∵將x=0代入拋物線的解析式得y=$\frac{1}{2}$，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，$\frac{1}{2}$）．
∵AB∥x軸，
∴BE=OA=$\frac{1}{2}$．
∵BE∥DC，C是OB的中點(diǎn)，
∴△ODC∽△OEB．
∴$\frac{DC}{BE}=\frac{OC}{OB}=\frac{1}{2}$，即$\frac{DC}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}$．
解得：DC=$\frac{1}{4}$．
由二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式可知：$\frac{4ac-^{2}}{4a}$=$\frac{1}{4}$，即$\frac{^{2}-4×1×\frac{1}{2}}{4×1}$=$\frac{1}{4}$．
解得：b=±1，
又∵x=-$\frac{2a}$＞0，
∴b=-1．
（2）∵b=-1，
∴y₂=x²-x+$\frac{1}{2}$．
∴x=$-\frac{-1}{2×1}$=$\frac{1}{2}$．
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，0）．
設(shè)y₃=x²+b₁x+c₁，將點(diǎn)A、點(diǎn)D的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{{c}_{1}=\frac{1}{2}}\\{\frac{1}{4}+\frac{1}{2}_{1}+{c}_{1}=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{c}_{1}=\frac{1}{2}}\\{_{1}=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$．
∴y₃=x²-$\frac{3}{2}x$+$\frac{1}{2}$．
將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入y₁=kx得：$\frac{1}{2}k=\frac{1}{4}$，解得；k=$\frac{1}{2}$．
∴y₁=$\frac{1}{2}$x．
|y₃-y₁|=|x²-$\frac{3}{2}x$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}x$|=|x²-2x+$\frac{1}{2}$|．
函數(shù)|y₃-y₁|=|x²-2x+$\frac{1}{2}$|的圖象圖2所示；

令x²-2x+$\frac{1}{2}$=0，解得：x₁=1$+\frac{\sqrt{2}}{2}$，x₂=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
x=-$\frac{2a}$=$-\frac{-2}{1×2}$=1．
由函數(shù)圖象可知：當(dāng)x＜1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$或1＜x$＜1+\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，|y₃-y₁|的值隨x的增大而減�。�
（3）將x=2代入y=$\frac{1}{2}x$得；y=1．
將x=2，y=1代入y₄=（x-h）²得：（2-h）²=1．
解得h=3或h=1（不合題意）．
∴y₄=（x-3）²．
根據(jù)題意得：（x-3）²=$\frac{1}{2}x$．
解得：x₁=2，x₂=4.5．
∴m的最大值為4.5．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用、相似三角形的性質(zhì)和判定、待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式、解一元二次方程，利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)畫出函數(shù)的圖象是解題的關(guān)鍵．