Question

17．如圖，AB是半圓O的直徑，射線AM、BN為半圓的切線．在AM上取一點(diǎn)C，連接BC交半圓于點(diǎn)D，連接AD．過(guò)O點(diǎn)作BC的垂線ON，與BN相交于點(diǎn)N．過(guò)C點(diǎn)作半圓的切線CE，切點(diǎn)為E，與BN相交于點(diǎn)F．當(dāng)C在AM上移動(dòng)時(shí)（A點(diǎn)除外），設(shè)$\frac{BF}{BN}=n$，則n的值為（　　）

• A． n=$\frac{1}{2}$
• B． 0＜n≤$\frac{3}{4}$
• C． $\frac{1}{2}$≤n＜1
• D． 無(wú)法確定

Answer 1

分析 作FH⊥AC于H，如圖，設(shè)BN=1，則BF=n，半圓的半徑為r，根據(jù)切線的性質(zhì)得∠MAB=∠NBA=90°，易得四邊形ABFH為矩形，所以HF=2r，AH=BF=n，再根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到CE=CA，F(xiàn)E=FB=n，設(shè)CA=t，則CE=t，CH=t-AH=t-n，在Rt△CHF中利用勾股定理得（t-n）²+（2r）²=（t+n）²，解得t=$\frac{{r}^{2}}{n}$，接著證明Rt△BON∽R(shí)t△ACB，然后利用相似比得可計(jì)算出n=$\frac{1}{2}$．

解答 解：作FH⊥AC于H，如圖，設(shè)BN=1，則BF=n，半圓的半徑為r，
∵AM、BN為半圓的切線，
∴∠MAB=∠NBA=90°，
∴四邊形ABFH為矩形，
∴HF=2r，AH=BF=n，
∵CF切半圓于E點(diǎn)，
∴CE=CA，F(xiàn)E=FB=n，
設(shè)CA=t，則CE=t，CH=t-AH=t-n，
在Rt△CHF中，∵CH²+FH²=CF²，
∴（t-n）²+（2r）²=（t+n）²，解得t=$\frac{{r}^{2}}{n}$，
∵AB是半圓O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∵ON⊥BD，
∴AD∥ON，
∴∠BON=∠BAD，
∵∠BAD+∠CAD=90°，∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠BAD=∠ACD，
∴∠BON=∠ACB，
∴Rt△BON∽R(shí)t△ACB，
∴$\frac{OB}{AC}$=$\frac{BN}{AB}$，即$\frac{r}{\frac{{r}^{2}}{n}}$=$\frac{1}{2r}$，
∴n=$\frac{1}{2}$．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的綜合題：熟練掌握?qǐng)A周角定理、切線的性質(zhì)和切線長(zhǎng)定理；會(huì)運(yùn)用相似比和勾股定理計(jì)算線段的長(zhǎng)．