Question

12．如圖，已知平行四邊形ABCD中，∠BCD=90°，CE⊥BD于E，CF平分∠DCE與DB交于點(diǎn)F，
（1）求證：BF=BC；
（2）若AB=4cm，AD=3cm，求CF．

Answer 1

分析 （1）要求證：BF=BC只要證明∠CFB=∠FCB就可以，從而轉(zhuǎn)化為證明∠BCE=∠BDC就可以；
（2）已知AB=4cm，AD=3cm，就是已知BC=BF=3cm，CD=4cm，在直角△BCD中，根據(jù)三角形的面積等于$\frac{1}{2}$BD•CE=$\frac{1}{2}$BC•DC，就可以求出CE的長．要求CF的長，可以在直角△CEF中用勾股定理求得．其中EF=BF-BE，BE在直角△BCE中根據(jù)勾股定理就可以求出，由此解決問題．

解答 （1）證明：∵平行四邊形ABCD中，∠BCD=90°，
∴四邊形ABCD是矩形，
∴∠CDB+∠DBC=90°．
∵CE⊥BD，
∴∠DBC+∠ECB=90°．
∴∠ECB=∠CDB．
又∵∠DCF=∠ECF，
∴∠CFB=∠CDB+∠DCF=∠ECB+∠ECF=∠BCF．
∴BF=BC；

（2）解：在Rt△ABD中，由勾股定理得BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5．
又∵BD•CE=BC•DC，
∴CE=$\frac{BC•DC}{BD}$=$\frac{12}{5}$．
∴BE=$\sqrt{B{C}^{2}-C{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-（\frac{12}{5}）^{2}}$=$\frac{9}{5}$．
∴EF=BF-BE=3-$\frac{9}{5}$=$\frac{6}{5}$．
∴CF=$\sqrt{C{E}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{12}{5}）^{2}+（\frac{6}{5}）^{2}}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$cm．

點(diǎn)評 本題考查矩形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定定理，等角對等邊，以及勾股定理，三角形面積計算公式的運(yùn)用，靈活運(yùn)用已知，理清思路，解決問題．