Question

9．如圖，在平面直角坐標系中，⊙C與y軸相切，且C點坐標為（2，0），直線l過點A（-2，0），與⊙C相切于點D，求直線l的解析式．

Answer 1

分析 連接CD，由于直線l為⊙C的切線，故CD⊥AD．結合點與坐標的性質求得點B的坐標，設直線l的函數(shù)解析式為y=kx+b，把A，B兩點的坐標代入即可求出未知數(shù)的值從而求出其解析式．

解答 解：如圖所示，當直線l在x軸的上方時，
連接CD，
∵直線l為⊙C的切線，
∴CD⊥AD．
∵C點坐標為（2，0），
∴OC=2，即⊙C的半徑為2，
∴CD=OC=2．
又∵點A的坐標為（-2，0），
∴AC=4，
∴AC=2CD，
∴∠CAD=30°，
在Rt△AOB中，OB=OA•tan30°=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
即B（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
設直線l解析式為：y=kx+b（k≠0），則 $\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{b=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
解得k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，b=$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
∴直線l的函數(shù)解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
同理可得，當直線l在x軸的下方時，直線l的函數(shù)解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故直線l的函數(shù)解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$或y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題把求一次函數(shù)的解析式與圓的性質相結合，增加了題目的難度，解答此題的關鍵是作出輔助線，構造出直角三角形，利用解直角三角形的知識解答．