Question

9．在平面直角坐標(biāo)xOy中，已知點(diǎn)A（6，0），點(diǎn)B（0，6），動點(diǎn)C在以半徑為3的⊙O上，連接OC，過O點(diǎn)作OD⊥OC，OD與⊙O相交于點(diǎn)D（其中點(diǎn)C、O、D按逆時針方向排列），連接AB．
（1）當(dāng)OC∥AB時，∠BOC的度數(shù)為45°或135°；
（2）連接AC，BC，在點(diǎn)C在⊙O運(yùn)動過程中，△ABC的面積是否存在最大值？并求出△ABC的最大值；
（3）直接寫出在（2）的條件下D點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)B坐標(biāo)易得△OAB為等腰直角三角形，則∠OBA=45°，由于OC∥AB，所以當(dāng)C點(diǎn)在y軸左側(cè)時，有∠BOC=∠OBA=45°；當(dāng)C點(diǎn)在y軸右側(cè)時，有∠BOC=180°-∠OBA=135°，從而得出答案；
（2）由△OAB為等腰直角三角形得AB=$\sqrt{2}$OA，根據(jù)三角形面積公式得到當(dāng)點(diǎn)C到AB的距離最大時，△ABC的面積最大，過O點(diǎn)作OE⊥AB于E，OE的反向延長線交⊙O于C，此時C點(diǎn)到AB的距離的最大值為CE的長，然后利用等腰直角三角形的性質(zhì)計算出OE，然后計算△ABC的面積；
（3）由（2）可知當(dāng)△ABC的面積最大值時，則點(diǎn)C在第三象限，因為OD⊥OC，所以點(diǎn)D在第二象限，過點(diǎn)D作DH⊥OB，DM⊥AO，分別求出DH，DM的長即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A（6，0），點(diǎn)B（0，6），
∴OA=OB=6，
∴△OAB為等腰直角三角形，
∴∠OBA=45°，
∵OC∥AB，
∴當(dāng)C點(diǎn)在y軸左側(cè)時，∠BOC=∠OBA=45°，
當(dāng)C點(diǎn)在y軸右側(cè)時，∠BOC=180°-∠OBA=135°，
∴∠OBA=45°或135°；
故答案為：45°或135°；
（2）∵△OAB為等腰直角三角形，
∴AB=$\sqrt{2}$OA=6$\sqrt{2}$，
∴當(dāng)點(diǎn)C到AB的距離最大時，△ABC的面積最大，
過O點(diǎn)作OE⊥AB于E，OE的反向延長線交⊙O于C，
如圖：此時C點(diǎn)到AB的距離最大值為CE的長，
∵△OAB為等腰直角三角形，
∴OE=$\frac{1}{2}$AB=3$\sqrt{2}$，
∴CE=OC+OE=3+3$\sqrt{2}$，△ABC的面積=$\frac{1}{2}$CE•AB=$\frac{1}{2}$（3+3$\sqrt{2}$）×6$\sqrt{2}$=9$\sqrt{2}$+18，
當(dāng)點(diǎn)C在⊙O上運(yùn)動到第三象限的角平分線與圓的交點(diǎn)位置時，△ABC的面積最大，最大值為9$\sqrt{2}$+18．
（3）過點(diǎn)D作DH⊥OB，DM⊥AO，
由（2）可知點(diǎn)C在⊙O上運(yùn)動到第三象限的角平分線與圓的交點(diǎn)位置，
∴∠COM=45°，
∵OD⊥OC，
∴∠DOM=45°，
∵OD=3，
∴DM=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，DH=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴點(diǎn)D坐標(biāo)是（-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）．

點(diǎn)評 本題考查了圓的綜合題，用到的知識點(diǎn)是平行線的性質(zhì)和等腰直角三角形的判定與性質(zhì)；熟練運(yùn)用勾股定理進(jìn)行幾何計算是本題的關(guān)鍵．