Question

10．已知點P是反比例函數(shù)y=$\frac{4}{x}$圖象上的一個動點，在y軸上取點Q，使得△OPQ為等腰直角三角形，則符合條件的Q點的坐標為（0，2）、（0，-2）、（0，4）或（0，-4）．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，分兩種情況：（1）當∠AQP=90°時；（2）當∠APQ=90°時；根據(jù)△OPQ為等腰直角三角形，判斷出符合條件的所有Q點的坐標有哪些即可．

解答 解：（1）當∠AQP=90°時，
∵△OPQ為等腰直角三角形，
∴OQ=PQ，
∴點P（a，b）的橫坐標、縱坐標相等，
∴a=b，ab=4，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=-2}\end{array}\right.$
∴Q點的坐標為（0，2）或（0，-2）．
（2）當∠APQ=90°時，
∵△OPQ為等腰直角三角形，
∴OP=PQ，
∴點P（a，b）的橫坐標、縱坐標相等，
∴a=b，ab=4，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=-2}\end{array}\right.$
∴OP=$\sqrt{{2}^{2}{+2}^{2}}=2\sqrt{2}$，PQ=2$\sqrt{2}$，
∵△OPQ為等腰直角三角形，
∴OQ=2$\sqrt{2}×\sqrt{2}$=4，
∴Q點的坐標為（0，4）或（0，-4）．
綜上，可得符合條件的Q點的坐標為：（0，2）、（0，-2）、（0，4）或（0，-4）．
故答案為：（0，2）、（0，-2）、（0，4）或（0，-4）．

點評 （1）此題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標的特征，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：①圖象上的點（x，y）的橫縱坐標的積是定值k，即xy=k；②雙曲線是關于原點對稱的，兩個分支上的點也是關于原點對稱；③在xk圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積是定值|k|．
（2）此題還考查了等腰直角三角形的性質和應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質，還具備等腰三角形和直角三角形的所有性質．即：兩個銳角都是45°，斜邊上中線、角平分線、斜邊上的高，三線合一，等腰直角三角形斜邊上的高為外接圓的半徑R，而高又為內切圓的直徑．