Question

8．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD為AB邊上的中線，過點A作AE⊥CD于點E，過點B作CD平行線，交AE的延長線于點F，在延長線上截得FG=CD，連結(jié)CG、DF．若BG=11，AF=8，則四邊形CGFD的面積等于20．

Answer 1

分析 首先可判斷四邊形CGFD是平行四邊形，再由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，可得BD=FD，則可判斷四邊形CGFD是菱形，CD∥BF，D為AB中點，E為AF的中點，得EF的長，設(shè)GF=x，則BF=11-x，AB=2x，在Rt△ABF中利用勾股定理可求出x的值．

解答 解：∵∠ACB=90°，CD為AB邊上的中線，
∴AD=BD=CD，
∵BG∥CD，
∴AF⊥BG，
∴AD=BD=DF，
∴DF=CD，
∵FG=CD，
∴四邊形CGFD為菱形，
∵CD∥BF，D為AB中點，
∴E為AF的中點，
∴EF=$\frac{1}{2}$AF=4，
設(shè)GF=x，則BF=11-x，AB=2x，
∵在Rt△ABF中，∠BFA=90°，
∴AF²+BF²=AB²，即（11-x）²+8²=（2x）²，
解得：x=5或x=-$\frac{37}{3}$（舍去），
∴菱形CGFD的面積為：5×4=20，
故答案為：20．

點評 本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、勾股定理及直角三角形的斜邊中線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是判斷出四邊形BGFD是菱形．