Question

3．問題發(fā)現(xiàn)：
（1）在我們學(xué)習(xí)過的幾何圖形里，有很多圖形的面積和周長(zhǎng)能同時(shí)被某條直線平分，如圖1，⊙O的周長(zhǎng)和面積能被過圓心的任意一條直線平分．請(qǐng)你在圖2和圖3中分別作兩條不同的直線將矩形ABCD和梯形ABCD的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分，并簡(jiǎn)要說明做法．
問題解決：
如圖4，在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10，點(diǎn)E在下底邊BC上，點(diǎn)F在腰AB上．
（2）是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)和面積平分？若存在，求出此時(shí)BE的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)和面積同時(shí)分成1：2的兩部分？若存在，求出此時(shí)BE的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）過矩形的對(duì)角的頂點(diǎn)的直線即可平分矩形的面積和周長(zhǎng)；過對(duì)角線BD的中點(diǎn)O的直線即可平分矩形的面積和周長(zhǎng)；取梯形上、下底的中點(diǎn)M、N，過M、N作直線即可將梯形的面積和周長(zhǎng)平分；過頂點(diǎn)A和MN的中點(diǎn)O的直線即可將梯形的面積和周長(zhǎng)平分；
（2）先作AK⊥BC于K，F(xiàn)G⊥BC于G，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)，可得BK=$\frac{1}{2}$（BC-AD）=$\frac{1}{2}$×（10-4）=3，在Rt△ABK中，利用勾股定理可求出AK=4，由于AK、FG垂直于同一直線故平行，可得比例線段，求出FG=$\frac{12-x}{5}$×4，利用面積公式可得S_△BEF=$\frac{1}{2}$BE•FG=-$\frac{2}{5}$x²+$\frac{24}{5}$x（7≤x≤10，因?yàn)锽F最大取5，故BE最小取7，又不能超過10）；根據(jù)線段EF將等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)和面積平分，可以得到$\frac{1}{2}$S_梯形ABCD=-$\frac{2}{5}$x²+$\frac{24}{5}$x，即14=-$\frac{2}{5}$x²+$\frac{24}{5}$x，解得x₁=7，x₂=5（不合題意，舍去）；
（3）仍然按照（2）的步驟和方法去做就可以了，注意不是分成相等的兩份，而是1：2就可以了，得到關(guān)于x的一元二次方程，先求出根的判別式△，由于△＜0，故不存在實(shí)數(shù)根．

解答 解：（1）①過矩形的對(duì)角的頂點(diǎn)的直線即可平分矩形的面積和周長(zhǎng)；過對(duì)角線BD的中點(diǎn)O的直線即可平分矩形的面積和周長(zhǎng)；
②取上、下底的中點(diǎn)M、N，過M、N作直線即可將梯形的面積和周長(zhǎng)平分；過頂點(diǎn)A和MN的中點(diǎn)O的直線即可將梯形的面積和周長(zhǎng)平分；

（2）存在；
由已知條件得：
梯形周長(zhǎng)為24，高4，面積為28．
過點(diǎn)F作FG⊥BC于G
∴BK=$\frac{1}{2}$（BC-AD）=$\frac{1}{2}$×（10-4）=3，
∴AK=$\sqrt{A{B}^{2}-B{K}^{2}}$=4，
∵EF平分等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)，設(shè)BE長(zhǎng)為x，
∴BF=12-x，
過點(diǎn)A作AK⊥BC于K
∴△BFG∽△BAK，
∴$\frac{FG}{AK}$=$\frac{BF}{BA}$，
即：$\frac{FG}{4}$=$\frac{12-x}{5}$，
則可得：FG=$\frac{12-x}{5}$×4
∴S_△BEF=$\frac{1}{2}$BE•FG=-$\frac{2}{5}$x²+$\frac{24}{5}$x（7≤x≤10），
∵線段EF將等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)和面積平分，
$\frac{1}{2}$S_梯形ABCD=-$\frac{2}{5}$x²+$\frac{24}{5}$x，
即-$\frac{2}{5}$x²+$\frac{24}{5}$x=14，
x²-12x+35=0，
（x-7）（x-5）=0，
解得x₁=7，x₂=5（不合題意舍去）
∴存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)與面積同時(shí)平分，此時(shí)BE=7；

（3）不存在；
假設(shè)存在，第一種情況：顯然是：S_△BEF：S_AFECD=1：2，（BE+BF）：（AF+AD+DC+CE）=1：2，
梯形ABCD周長(zhǎng)的三分之一為$\frac{24}{3}$=8，面積的三分之一為$\frac{28}{3}$．因?yàn)锽E=x，
所以BF=（8-x）
∵FM∥AH，
∴△FBM∽△ABH，
∴BF：AB=FM：AH，
∴$\frac{8-x}{5}$=$\frac{FM}{4}$，
∴FM=$\frac{32-4x}{5}$，
∴△BEF的面積=-$\frac{2}{5}$x²+$\frac{16}{5}$x，
當(dāng)$\frac{1}{3}$S_{梯形ABCD的面積}=$\frac{28}{3}$時(shí)，
∴$\frac{28}{3}$=-$\frac{2}{5}$x²+$\frac{16}{5}$x，
整理方程得：-3x²+24x-70=0，
△=576-840＜0
∴不存在這樣的實(shí)數(shù)x．
即不存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)和面積同時(shí)分成1：2的兩部分．
第二種情況：顯然是：S_△BEF：S_AFECD=2：1，（BE+BF）：（AF+AD+DC+CE）=1：2，
梯形ABCD周長(zhǎng)的三分之一為$\frac{24}{3}$=8，面積的三分之一為$\frac{28}{3}$．因?yàn)锽E=x，
所以BF=（8-x）
∵FM∥AH，
∴△FBM∽△ABH，
∴BF：AB=FM：AH，
∴$\frac{8-x}{5}$=$\frac{FM}{4}$，
∴FM=$\frac{32-4x}{5}$，
∴△BEF的面積=-$\frac{2}{5}$x²+$\frac{16}{5}$x，
當(dāng)$\frac{1}{3}$S_{梯形ABCD的面積}=$\frac{28}{3}$時(shí)，
∴$\frac{28}{3}$×2=-$\frac{2}{5}$x²+$\frac{16}{5}$x，
整理方程得：3x²-24x+140=0，
△＜0
∴不存在這樣的實(shí)數(shù)x．
即不存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)和面積同時(shí)分成1：2的兩部分．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形的綜合題，綜合利用了等腰梯形的性質(zhì)、垂直于同一直線的兩直線平行，勾股定理，三角形、梯形面積公式，解一元二次方程，以及一元二次方程根的判別式等知識(shí)．