Question

13．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是直徑，D是$\widehat{AC}$上的點，BD交AC于點E，過點B作⊙O的切線與AC的延長線交于點F，已知AB=5，sin∠CAB=$\frac{3}{5}$，求CF的長．

Answer 1

分析 由圓周角定理得出∠ACB=90°，在Rt△ACB中運用三角函數(shù)求出BC=3，再由勾股定理求出AC=4，得出cos∠CAB=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{4}{5}$，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠ABF=90°，然后在Rt△ABF中運用三角函數(shù)求出AF=$\frac{25}{4}$，即可求出CF的長．

解答 解：∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，sin∠CAB=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{3}{5}$，AB=5，
∴BC=3，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=4，
∴cos∠CAB=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{4}{5}$，
∵BF為⊙O的切線，
∴AB⊥BF，
∴∠ABF=90°，
在Rt△ABF中，cos∠CAB=$\frac{AB}{AF}$=$\frac{4}{5}$，
∴AF=$\frac{5}{4}$×5=$\frac{25}{4}$，
∴CF=AF-AC=$\frac{25}{4}$-4=$\frac{9}{4}$．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理、三角函數(shù)、勾股定理；熟練掌握切線的性質(zhì)，并能進行推理論證與計算是解決問題的關(guān)鍵．