Question

13．（1）如圖1，已知⊙O的半徑是4，△ABC內(nèi)接于⊙O，AC=4$\sqrt{2}$．
①求∠ABC的度數(shù)；
②已知AP是⊙O的切線，且AP=4，連接PC．判斷直線PC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）如圖2，已知?ABCD的頂點A、B、D在⊙O上，頂點C在⊙O內(nèi)，延長BC交⊙O于點E，連接DE．求證：DE=DC．

Answer 1

分析 （1）①連結(jié)OA、OC，如圖1，利用勾股定理的逆定理證明△OCA為等腰直角三角形，∠AOC=90°，然后根據(jù)圓周角定理易得∠ABC=45°；
②先根據(jù)切線的性質(zhì)得∠OAP=90°，再證四邊形APCO為平行四邊形，加上∠AOC=90°，則可判斷四邊形AOCP為矩形，所以∠PCO=90°，然后根據(jù)切線得判斷定理得到PC為⊙O的切線；
（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得AB∥CD，AD∥BC，再由平行線的性質(zhì)得∠B+∠A=180°，∠DCE=∠B，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠E+∠A=180°，易得∠DCE=∠E，則根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到DC=DE．

解答 （1）解：①連結(jié)OA、OC，如圖1，
∵OA=OC=4，AC=4$\sqrt{2}$，
∴OA²+OC²=AC²，
∴△OCA為等腰直角三角形，∠AOC=90°，
∴∠ABC=$\frac{1}{2}$∠AOC=45°；       
②直線PC與⊙O相切．理由如下：
∵AP是⊙O的切線，
∴∠OAP=90°，
而∠AOC=90°，
∴AP∥OC，
而AP=OC=4，
∴四邊形APCO為平行四邊形，
∵∠AOC=90°，
∴四邊形AOCP為矩形，
∴∠PCO=90°，
∴PC⊥OC，
∴PC為⊙O的切線；
（2）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠B+∠A=180°，∠DCE=∠B，
∵∠E+∠A=180°，
∴∠E=∠B，
∴∠DCE=∠E，
∴DC=DE．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑；經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點；經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心．運用切線的性質(zhì)來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．也考查了平行四邊形的性質(zhì)．