Question

1．探究
問題1  已知：如圖1，三角形ABC中，點D是AB邊的中點，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分別為點E，F(xiàn)，AE，BF交于點M，連接DE，DF．若DE=kDF，則k的值為1．
拓展
問題2  已知：如圖2，三角形ABC中，CB=CA，點D是AB邊的中點，點M在三角形ABC的內部，且∠MAC=∠MBC，過點M分別作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分別為點E，F(xiàn)，連接DE，DF．求證：DE=DF．
推廣
問題3  如圖3，若將上面問題2中的條件“CB=CA”變?yōu)椤癈B≠CA”，其他條件不變，試探究DE與DF之間的數(shù)量關系，并證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）利用直角三角形的性質“直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半”得到DE=DF；
（2）利用等腰三角形的性質和判定得出結論，從而判定△MEB≌△MFA（AAS），得到DE=DF．
（3）利用三角形的中位線和直角三角形的性質根據SAS證明△DHE≌△FGD可得．

解答 解：（1）∵AE⊥BC，BF⊥AC
∴△AEB和△AFB都是直角三角形
∵D是AB的中點
∴DE和DF分別為Rt△AEB和Rt△AFB的斜邊中線
∴DE=$\frac{1}{2}$AB，DF=$\frac{1}{2}$AB（直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半）
∴DE=DF
∵DE=kDF
∴k=1
（2）∵CB=CA
∴∠CBA=∠CAB
∵∠MAC=∠MB
∴∠CBA-∠MBC=∠CAB-∠MAC
即∠ABM=∠BAM
∴AM=BM
∵ME⊥BC，MF⊥AC
∴∠MEB=∠MFA=90
又∵∠MBE=∠MAF
∴△MEB≌△MFA（AAS）
∴BE=AF
∵D是AB的中點，即BD=AD
又∵∠DBE=∠DAF
∴△DBE≌△DAF（SAS）
∴DE=DF
（3）DE=DF
如圖1，作AM的中點G，BM的中點H，

∵點 D是 邊 AB的 中點
∴DG∥BM，DG=$\frac{1}{2}$BM
同理可得：DH∥AM，DH=$\frac{1}{2}$AM
∵ME⊥BC于E，H 是BM的中點
∴在Rt△BEM中，HE=$\frac{1}{2}$BM=BH
∴∠HBE=∠HEB
∠MHE=∠HBE+∠HEB=2∠MBC
又∵DG=$\frac{1}{2}$BM，HE=$\frac{1}{2}$BM
∴DG=HE
同理可得：DH=FG，∠MGF=2∠MAC
∵DG∥BM，DH∥GM
∴四邊形DHMG是平行四邊形
∴∠DGM=∠DHM
∵∠MGF=2∠MAC，∠MHE=2∠MBC
又∵∠MBC=∠MAC
∴∠MGF=∠MHE
∴∠DGM+∠MGF=∠DHM+∠MHE
∴∠DGF=∠DHE
在△DHE與△FGD中
$\left\{\begin{array}{l}{DG=HE}\\{∠DGF=∠DHE}\\{DH=FG}\end{array}\right.$，
∴△DHE≌△FGD（SAS），
∴DE=DF

點評 本題主要考查三角形全等的判定和性質；在證明三角形全等時，用到的知識點比較多，用到直角三角形的性質、三角形的中位線、平行四邊形的性質和判定．