Question

19．已知，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，連接PA、PB、PC
（1）將△PAB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△P′CB的位置（如圖1）
①設(shè)AB的長(zhǎng)為a，PB的長(zhǎng)為b（b＜a），求△PAB旋轉(zhuǎn)到△P′CB的過(guò)程中邊PA所掃過(guò)區(qū)域的面積；
②若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的長(zhǎng)；
（2）如圖2，在（1）的條件下，若PA′+PC′=2PB′，請(qǐng)說(shuō)明點(diǎn)P必在對(duì)角線AC上．

Answer 1

分析 （1）①△PAB旋轉(zhuǎn)到△P′CB的過(guò)程中邊PA所掃過(guò)區(qū)域（圖1中陰影部分）的面積實(shí)際是大扇形BAC與小扇形BPP′的面積差，且這兩個(gè)扇形的圓心角同為90度；
②連接PP′，證△PBP′為等腰直角三角形，從而可在Rt△PP′C中，用勾股定理求得PC=6；
（2）將△PAB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△P′CB的位置，由勾股定理的逆定理證出∠P′CP=90°，再證∠BPC+∠APB=180°，即點(diǎn)P在對(duì)角線AC上．

解答 （1）解：①∵△PAB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△P′CB，如圖1所示：
∴S_△ABP=S_△BP′C ，
∴S_陰影=S_扇形ABC+S_△BP′C-S_扇形PBP′-S_△ABP
=S_扇形ABC-S_扇形PBP′
=$\frac{90π（{a}^{2}-^{2}）}{360}$
=$\frac{π}{4}$（a²-b²）；
②連接PP′，
如圖2所示：
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：
BP=BP′，∠PBP′=90°，
即：△PBP′為等腰直角三角形，
∴∠BPP′=45°，
∵∠BPA=∠BP′C=135°，∠BP′P=45°，
∴∠BPA+∠BPP′=180°，
即A、P、P′共線，
∴∠PP′C=135°-45°=90°；
在Rt△PP′C中，PP′=4$\sqrt{2}$，P′C=PA=2，
根據(jù)勾股定理可得PC=$\sqrt{（4\sqrt{2}）^{2}+{2}^{2}}$=6；
（2）證明：連接PP′，如圖3所示：
∵△PAB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△P′CB，
∴PA=P′C，
由（1）①可知：△BPP′是等腰直角三角形，
即PP′²=2PB²，
∵PA²+PC²=2PB²=PP′²，
∴PC²+P′C²=PP′²，
∴∠P′CP=90°；
∵∠PBP′=∠PCP′=90°，
∴在四邊形BPCP′中，∠BP′C+∠BPC=180°；
∵∠BPA=∠BP′C，
∴∠BPC+∠APB=180°，
即點(diǎn)P在對(duì)角線AC上．

點(diǎn)評(píng) 本題四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、扇形的面積公式等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，難度較大，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．