Question

11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-x²-2x+3與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，頂點(diǎn)為點(diǎn)D，已知點(diǎn)P（m，0）是線段CO上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸交拋物線于點(diǎn)Q，交線段BC于點(diǎn)E，交直線CD于點(diǎn)F．
（1）求點(diǎn)B，點(diǎn)C，點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)m為何值時，△BEF的最大面積是多少；
（3）當(dāng)△CEF與△DEQ的面積相等時，則m的值是-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得B，C的坐標(biāo)，根據(jù)配方法，可得D點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)待定系數(shù)法，可得直線CD，直線CB，根據(jù)平行于y軸的直線上兩點(diǎn)間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo)，可得EF的長，根據(jù)三角形的面積，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；
（3）根據(jù)平行于y軸的直線上兩點(diǎn)間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo)，可得EF的長，QE的長，根據(jù)三角形的面積相等，可得關(guān)于m的方程，根據(jù)解方程，可得答案．

解答 解：（1）y=-x²-2x+3當(dāng)y=0時，-x²-2x+3=0，解得x₁=-3，x₂=1（舍），即C點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0）；
當(dāng)x=0時，y=3，即B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），
y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，即D點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，4）；

（2）BC的解析式為y=x+3，CD的解析式為y=2x+6，
F點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，2m+6），E（m，m+3），
EF=2m+6-（m+3）=m+3，
S=$\frac{1}{2}$EF•|x_M|=-$\frac{1}{2}$EF•x_F=-$\frac{1}{2}$（m+3）•m=-$\frac{1}{2}$（m²+3m）=-$\frac{1}{2}$（m+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{8}$，
當(dāng)m=-$\frac{3}{2}$時，S_最大=$\frac{9}{8}$；

（3）F點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，2m+6），E（m，m+3），Q（m，-m²-2m+3）
EF=2m+6-（m+3）=m+3，EQ=-m²-2m+3-（m+3）=-m²-3m，
x_P-x_C=m+3，x_D-x_Q=-1-m，
S_△CEF=$\frac{1}{2}$EF•（x_P-x_C）=$\frac{1}{2}$（m+3）（m+3），
S_△DEQ=$\frac{1}{2}$EQ•（x_D-x_Q）=$\frac{1}{2}$（-m²-3m）（-1-m），
由△CEF與△DEQ的面積相等，得，
$\frac{1}{2}$（m+3）（m+3）=$\frac{1}{2}$（-m²-3m）（-1-m），
化簡，得
m³+3m²-3m-9=0，
因式分解，得
（m+3）（m²-3）=0，
解得m=-3（舍）m=-$\sqrt{3}$，m=$\sqrt{3}$（舍），
故答案為：-$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，解（1）的關(guān)鍵是利用自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系；解（2）的關(guān)鍵是利用平行于y軸的直線上兩點(diǎn)間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo)得出EF的長，又利用了二次函數(shù)的性質(zhì)；解（3）的關(guān)鍵是利用面積相等得出關(guān)于m的方程，又利用了因式分解法解方程．