Question

19．平面直角坐標系中，點C是拋物線y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+b的頂點，拋物線交x軸負半軸于點Q，直線y=-2x+2分別交x軸、y軸于點B、A，交拋物線于點M、N（點M在點N的左側(cè)）．
（1）求點N和M的坐標；（用b表示）；
（2）若S_△QAN=3S_△QAM，求b的值
（3）如圖，b＞2，直線NQ交y軸于點P，當PC=PN時，求b的值．

Answer 1

分析 （1）列方程組，把b看作常數(shù)，求方程組的解，寫出點N和M的坐標；（
（2）如圖2，作輔助線，構(gòu)建平行線，證明△MDA∽△NEA，根據(jù)S_△QAN=3S_△QAM，由這兩個三角形是不同底同高的兩個三角形，其面積的比就是底邊AN和AM的比，則EN=3MD，列式可得b的值；
（3）如圖3，求Q的坐標為Q（-$\sqrt{2b}$，0），利用待定系數(shù)法求直線QN的解析式為：y=-x-$\sqrt{2b}$，分別表示PC和PN的長，列式可得結(jié)論．

解答 解：（1）由題意得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+b}\\{y=-2x+2}\end{array}\right.$，
-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+b=-2x+2，
x²-4x+4=2b，
（x-2）2=2b，
x=2$±\sqrt{2b}$，
當x=2+$\sqrt{2b}$時，y=-2（2+$\sqrt{2b}$）+2=-2-2$\sqrt{2b}$，
當x=2-$\sqrt{2b}$時，y=-2（2-$\sqrt{2b}$）+2=-2+2$\sqrt{2b}$，
∵點M在點N的左側(cè)，
∴M（2-$\sqrt{2b}$，-2+2$\sqrt{2b}$），N（2+$\sqrt{2b}$，-2-2$\sqrt{2b}$）；

（2）如圖2，過M作MD⊥y軸于D，過N作NE⊥y軸于E，
∴MD∥NE，
∴△MDA∽△NEA，
∴$\frac{MD}{EN}=\frac{AM}{AN}$，
∵S_△QAN=3S_△QAM，
∴$\frac{{S}_{△QAN}}{{S}_{△QAM}}$=$\frac{AN}{AM}$=3，
∴$\frac{MD}{EN}$=$\frac{1}{3}$，
∴EN=3MD，
即2+$\sqrt{2b}$=3（$\sqrt{2b}$-2），
b=8；

（3）如圖3，當y=0時，-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+b=0，
x=$±\sqrt{2b}$，
∴Q（-$\sqrt{2b}$，0），
由（1）得：N（2+$\sqrt{2b}$，-2-2$\sqrt{2b}$），
當x=0時，y=b，
∴C（0，b），
設(shè)直線QN的解析式為：y=kx+a，
則$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{2b}k+a=0}\\{（2+\sqrt{2b}）k+a=-2-2\sqrt{2b}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{a=-\sqrt{2b}}\end{array}\right.$，
∴直線QN的解析式為：y=-x-$\sqrt{2b}$，
∴P（0，-$\sqrt{2b}$），
∴PC=b+$\sqrt{2b}$，
過N作NE⊥y軸于E，
在Rt△PEM中，PE=2+2$\sqrt{2b}$-$\sqrt{2b}$=2+$\sqrt{2b}$，
EN=2+$\sqrt{2b}$，
由勾股定理得：PN²=PE²+EN²，
∵PC=PN，
∴（b+$\sqrt{2b}$）²=2（2+$\sqrt{2b}$）²，
[$\sqrt$（$\sqrt$+$\sqrt{2}$）]²=2[$\sqrt{2}$（$\sqrt{2}$+$\sqrt$）]²，
b=8．

點評 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、相似三角形的性質(zhì)和判定、二次函數(shù)與兩坐標軸的交點等知識，對于含字母系數(shù)的二次函數(shù)，計算時要注意把字母系數(shù)b看作常數(shù)，并與方程相結(jié)合，解決問題．