Question

9．如圖1，在邊長(zhǎng)4的正方形ABCD中，E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），F(xiàn)是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且滿足DF=BE，以CE為邊作∠ECG=45°，交AD于點(diǎn)G．
（1）求證：△ECG≌△FCG；
（2）在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的過程中，△AEG的周長(zhǎng)會(huì)發(fā)生變化嗎？若不變，請(qǐng)求出△AEG的周長(zhǎng)；若變化，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）先證明△BCE≌△DCF，可得∠ECB=∠FCD，所以∠GCE=∠FCG，從而可求證△ECG≌△FCG
（2）利用△ECG≌△FCG可知EG=GF，利用△BCE≌△DCF可知EB=DF，從而可得AG+EG+AE=AD+AB．

解答 解：（1）在△EBC與△FDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=DF}\\{∠B=∠FDC}\\{BC=CD}\end{array}\right.$
∴△EBC≌△FDC（SAS）
∴∠ECB=∠FCD，CE=CF
∵∠ECG=45°，
∴∠ECB+∠GCD=45°
∴∠FCD+∠GCD=45°，
∴∠ECG=∠GCF，
在△ECG與△FCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=CF}\\{∠ECG=∠GCF}\\{GC=GC}\end{array}\right.$
∴△ECG≌△FCG（SAS）
（2）由（1）可知：EG=GF，EB=DF
∴AG+EG+AE
=AG+GF+AE
=AF+AE
=AD+DF+AE
=AD+EB+AE
=AD+AB
=2AD
=8
故在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的過程中，△AEG的周長(zhǎng)會(huì)發(fā)生變化，且周長(zhǎng)為8

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是求證△BCE≌△DCF與△ECG≌△FCG，本題屬于中等題型．