Question

15．如圖，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點(diǎn)D、E，點(diǎn)F在A的延長(zhǎng)線上，且∠A=2∠CBF．
（1）求證：BF是⊙O的切線；
（2）若AB=5，sin∠CBF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，求BC和BF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接AE，根據(jù)圓周角的性質(zhì)求得AE⊥BC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)三效合一的性質(zhì)得出∠BAE=∠CAE=$\frac{1}{2}$BAC，進(jìn)而根據(jù)已知條件即可證明∠ABF=90°，從而證明BF是⊙O的切線；
（2）點(diǎn)C作CG∥BF，在Rt△ABE中可求得BE，進(jìn)一步求得BC，在Rt△CGB中求出CG和GB，再利用平行線分線段成比例可求得．

解答 （1）證明：連接AE，
∵AB為直徑，
∴AE⊥BC，
∵AB=AC，
∴∠BAE=∠CAE=$\frac{1}{2}$BAC，
∴∠A=2∠CBF，
∴∠CBF=∠BAE，
∵∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠ABF=∠ABE+∠CBF=90°，
∵AB為⊙O直徑，
∴BF是⊙O的切線；
（2）解：過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB于點(diǎn)G，
∵sin∠CBF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，∠BAE=∠CBF，
∴sin∠BAE=sin∠CBF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵∠AEB=90°，AB=5，
∴BE=AB•sin∠∠BAE=$\sqrt{5}$，
∵AB=AC，∠AEB=90°，
∴BC=2BE=2$\sqrt{5}$，
在Rt△ABE中，由勾股定理得AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-（\sqrt{5}）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴sin∠ABE=$\frac{AE}{AB}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cos∠ABE=$\frac{BE}{AB}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
在Rt△CBG中，sin∠ABE=$\frac{CG}{BC}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cos∠ABE=$\frac{BG}{BC}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴GC=4，GB=2，
∴AG=3，
∵GC∥BF，
∴△AGC∽△ABF，
∴$\frac{GC}{BF}$=$\frac{AG}{AB}$，
∴BF=$\frac{GC•AB}{AG}$=$\frac{4×5}{3}$=$\frac{20}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的切線的判定定理、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)及平行線分線段定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是如何利用已知條件中的sin∠CBF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，屬于中檔題，有一定的難度．