Question

5．正方形ABCD的邊長為6cm，點(diǎn)E、M分別是線段BD、AD上的動點(diǎn)，連接AE并延長，交邊BC于F，過M作MN⊥AF，垂足為H，交邊AB于點(diǎn)N．

（1）如圖1，若點(diǎn)M與點(diǎn)D重合，求證：AF=MN；
（2）如圖2，若點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā)，以1cm/s的速度沿DA向點(diǎn)A運(yùn)動，同時點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，以$\sqrt{2}$cm/s的速度沿BD向點(diǎn)D運(yùn)動，運(yùn)動時間為t s．
①設(shè)BF=y cm，求y關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式；
②當(dāng)BN=2AN時，連接FN，求FN的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AD=AB，∠BAD=90°，由垂直的定義得到∠AHM=90°，由余角的性質(zhì)得到∠BAF=∠AMH，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）①根據(jù)勾股定理得到BD=6$\sqrt{2}$，由題意得，DM=t，BE=$\sqrt{2}$t，求得AM=6-t，DE=6$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$t，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論；
②根據(jù)已知條件得到AN=2，BN=4，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BF=$\frac{12}{6-t}$，由①求得BF=$\frac{6t}{6-t}$，得方程$\frac{6t}{6-t}$=$\frac{12}{6-t}$，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD 是正方形，
∴AD=AB，∠BAD=90°，
∵M(jìn)N⊥AF，
∴∠AHM=90°，
∴∠BAF+∠MAH=∠MAH+∠AMH=90°，
∴∠BAF=∠AMH，
在△AMN與△ABF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AMN=∠BAF}\\{AM=AB}\\{∠MAN=∠BAF}\end{array}\right.$，
∴△AMN≌△ABF，
∴AF=MN；

（2）①∵AB=AD=6，
∴BD=6$\sqrt{2}$，
由題意得，DM=t，BE=$\sqrt{2}$t，
∴AM=6-t，DE=6$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$t，
∵AD∥BC，
∴△ADE∽△FBE，
∴$\frac{AD}{BF}=\frac{DE}{BE}$，即$\frac{6}{y}=\frac{6\sqrt{2}-\sqrt{2}t}{\sqrt{2}t}$，
∴y=$\frac{6t}{6-t}$；
②∵BN=2AN，
∴AN=2，BN=4，
由（1）證得∠BAF=∠AMN，∵∠ABF=∠MAN=90°，
∴△ABF∽△AMN，
∴$\frac{AM}{AB}$=$\frac{AN}{BF}$，即$\frac{6-t}{6}$=$\frac{2}{BF}$，
∴BF=$\frac{12}{6-t}$，
由①求得BF=$\frac{6t}{6-t}$，
∴$\frac{6t}{6-t}$=$\frac{12}{6-t}$，
∴t=2，
∴BF=3，
∴FN=$\sqrt{B{F}^{2}+B{N}^{2}}$=5cm．

點(diǎn)評 本題主要考查正方形的性質(zhì)和相似三角形、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識點(diǎn)的綜合應(yīng)用．