Question

12．已知直線l₁：y=x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，且與雙曲線y=$\frac{k}{x}$交于點C（1，a）．
（1）試確定雙曲線的函數(shù)表達式；
（2）將l₁沿y軸翻折后，得到l₂，畫出l₂的圖象，并求出l₂的函數(shù)表達式；
（3）在（2）的條件下，點P是線段AC上點（不包括端點），過點P作x軸的平行線，分別交l₂于點M，交雙曲線于點N，求S_△AMN的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令x=1代入一次函數(shù)y=x+3后求出C的坐標，然后把C代入反比例函數(shù)解析式中即可求出k的值；
（2）設直線l₂與x軸交于D，由題意知，A與D關于y軸對稱，所以可以求出D的坐標，再把B點坐標代入y=ax+b即可求出直線l₂的解析式；
（3）設M的縱坐標為t，由題意可得M的坐標為（3-t，t），N的坐標為（$\frac{4}{t}$，t），進而得MN=$\frac{4}{t}$+t-3，又可知在△ABM中，MN邊上的高為t，所以可以求出S_△AMN與t的關系式．

解答 解：（1）令x=1代入y=x+3，
∴y=1+3=4，
∴C（1，4），
把C（1，4）代入y=$\frac{k}{x}$中，
∴k=4，
∴雙曲線的解析式為：y=$\frac{4}{x}$；

（2）如圖所示，
設直線l₂與x軸交于點D，
由題意知：A與D關于y軸對稱，
∴D的坐標為（3，0），
設直線l₂的解析式為：y=ax+b，
把D與B的坐標代入上式，
得：$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{0=3a+b}\end{array}\right.$，
∴解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線l₂的解析式為：y=-x+3；

（3）設M（3-t，t），
∵點P在線段AC上移動（不包括端點），
∴0＜t＜4，
∴PN∥x軸，
∴N的縱坐標為t，
把y=t代入y=$\frac{4}{x}$，
∴x=$\frac{4}{t}$，
∴N的坐標為（$\frac{4}{t}$，t），
∴MN=$\frac{4}{t}$-（3-t）=$\frac{4}{t}$+t-3，
過點A作AE⊥PN于點E，
∴AE=t，
∴S_△AMN=$\frac{1}{2}$AE•MN，
=$\frac{1}{2}$t（$\frac{4}{t}$+t-3）
=$\frac{1}{2}$t²-$\frac{3}{2}$t+2
=$\frac{1}{2}$（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{7}{8}$，
由二次函數(shù)性質可知，當0≤t≤$\frac{3}{2}$時，S_△AMN隨t的增大而減小，當$\frac{3}{2}$＜t≤4時，S_△AMN隨t的增大而增大，
∴當t=$\frac{3}{2}$時，S_△AMN可取得最小值為$\frac{7}{8}$，
當t=4時，S_△AMN可取得最大值為4，
∵0＜t＜4
∴$\frac{7}{8}$≤S_△AMN＜4．

點評 本題考查函數(shù)的綜合問題，涉及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式和反比例函數(shù)解析式，三角形面積等知識，由于有動點，所以難度較高，需要學生利用參數(shù)去表示相關坐標，然后求出函數(shù)關系式．