Question

15．如圖所示，P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點，且PA=18，PB=24，PC=30．若將△PAC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后，得到△P′AB，則點P與P′之間的距離為18，∠APB=150°．

Answer 1

分析 由已知△PAC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后，得到△P′AB，可得△PAC≌△P′AB，PA=P′A，旋轉(zhuǎn)角∠P′AP=∠BAC=60°，所以△APP′為等邊三角形，即可求得PP′；再由△APP′為等邊三角形，得∠APP′=60°，在△PP′B中，已知三邊，用勾股定理逆定理證出直角三角形，得出∠P′PB=90°，可求∠APB的度數(shù)．

解答 解：連接PP′，BP，
由題意可知BP′=PC=10，AP′=AP，
∠PAC=∠P′AB，而∠PAC+∠BAP=60°，
所以∠PAP′=60度．故△APP′為等邊三角形，
所以PP′=AP=AP′=18；
∵PA=18，PB=24，PC=30．
∴PP′²+BP²=BP′²，
∴△BPP′為直角三角形，且∠BPP′=90°
∴∠APB=90°+60°=150°．
故答案為：18，150°．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理的逆定理，注意：旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)變化前后，對應線段、對應角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變．