Question

如圖1，將兩個完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°
（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖2，固定△ABC，使△DEC繞點C旋轉，當點D恰好落在AB上時，填空：設△BDC的面積為S₁，△AEC的面積為S₂，若AC=2，則S₁=

 

；S₂=

 

S₁與S₂的數(shù)量關系是

 

．

（2）猜想論證：
當△DEC繞點C旋轉到圖3所示的位置時，小明猜想（1）中S₁與S₂的數(shù)量關系仍然成立，請你證明小明的猜想；

（3）拓展探究：
①如圖3所示，若當△DEC繞點C旋轉角大于90°且小于270°，AC=a，則四邊形ABDE的最大面積是

 

；
②如圖4，已知∠ABC=60°，點D是其角平分線上一點，BD=CD=4，DE∥AB交BC于點E，若在射線BA上存在點F，使S_△DCF=S_△BDE，請計算相應的BF的長．

Answer 1

考點：幾何變換綜合題

專題：

分析：（1）①根據(jù)旋轉的性質可得AC=CD，然后求出△ACD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質可得∠ACD=60°，然后根據(jù)內錯角相等，兩直線平行解答；
②根據(jù)等邊三角形的性質可得AC=AD，再根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AC=

1

2

AB，然后求出AC=BD，再根據(jù)等邊三角形的性質求出點C到AB的距離等于點D到AC的距離，然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等解答；
（2）根據(jù)旋轉的性質可得BC=CE，AC=CD，再求出∠ACN=∠DCM，然后利用“角角邊”證明△ACN和△DCM全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面積相等證明；
（3）①四邊形ABDE的面積是△ABC的面積+△CDE的面積+△BCD的面積+△ACE的面積，而△ABC的面積+△CDE的面積可以直接求得，根據(jù)（2）可得△BCD的面積和△ACE的面積相等，△BCD中已知CB和CD的長，則∠BCD=90°時三角形的面積最大，此時四邊形的面積最大，即可求解；
②過點D作DF₁∥BE，求出四邊形BEDF₁是菱形，根據(jù)菱形的對邊相等可得BE=DF₁，然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等可知點F₁為所求的點，過點D作DF₂⊥BD，求出∠F₁DF₂=60°，從而得到△DF₁F₂是等邊三角形，然后求出DF₁=DF₂，再求出∠CDF₁=∠CDF₂，利用“邊角邊”證明△CDF₁和△CDF₂全等，根據(jù)全等三角形的面積相等可得點F₂也是所求的點，然后在等腰△BDE中求出BE的長，即可得解．

解答：解：（1）①∵△DEC繞點C旋轉點D恰好落在AB邊上，
∴AC=CD，
∵∠BAC=90°-∠B=90°-30°=60°，
∴△ACD是等邊三角形，
∴∠ACD=60°，
又∵∠CDE=∠BAC=60°，
∴∠ACD=∠CDE，
∴DE∥AC；

②∵∠B=30°，∠C=90°，
∴CD=AC=

1

2

AB，
∴BD=AD=AC，
根據(jù)等邊三角形的性質，△ACD的邊AC、AD上的高相等，
∴△BDC的面積和△AEC的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），
即S₁=S₂=

1

2

×2×2

3

=2

3

；
故答案為：2

3

；2

3

；S₁=S₂；

（2）如圖，∵△DEC是由△ABC繞點C旋轉得到，
∴BC=CE，AC=CD，
∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°-90°=90°，
∴∠ACN=∠DCM，
∵在△ACN和△DCM中，

∠ACN=∠DCM ∠CMD=∠N AC=CD

，
∴△ACN≌△DCM（AAS），
∴AN=DM，
∴△BDC的面積和△AEC的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），
即S₁=S₂；

（3）①S_△ABC=S_△CDE=

1

2

a•

3

a=

3 a2

2

，
△BCD中，BC=

3

a，CD=AC=a，則當∠BCD=90°時△BCD的面積最大，最大值是：

1

2

×a×

3

a=

3

2

a²．
此時S△ACE=S△BCD=

3

2

a²．
故四邊形ABDE的面積的最大值是：2

3

a²．
故答案是：2

3

；

②如圖，過點D作DF₁∥BE，易求四邊形BEDF₁是菱形，
所以BE=DF₁，且BE、DF₁上的高相等，
此時S_△DCF1=S_△BDE；
過點D作DF₂⊥BD，
∵∠ABC=60°，F(xiàn)₁D∥BE，
∴∠F₂F₁D=∠ABC=60°，
∵BF₁=DF₁，∠F₁BD=

1

2

∠ABC=30°，∠F₂DB=90°，
∴∠F₁DF₂=∠ABC=60°，
∴△DF₁F₂是等邊三角形，
∴DF₁=DF₂，
∵BD=CD，∠ABC=60°，點D是角平分線上一點，
∴∠DBC=∠DCB=

1

2

×60°=30°，
∴∠CDF₁=180°-∠BCD=180°-30°=150°，
∠CDF₂=360°-150°-60°=150°，
∴∠CDF₁=∠CDF₂，
∵在△CDF₁和△CDF₂中，

DF1=DF2 ∠CDF1=∠CDF2 CD=CD

，
∴△CDF₁≌△CDF₂（SAS），
∴點F₂也是所求的點，
∵∠ABC=60°，點D是角平分線上一點，DE∥AB，
∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=

1

2

×60°=30°，
又∵BD=4，
∴BE=

1

2

×4÷cos30°=2÷

3

2

=

4 3

3

，
∴BF₁=

4 3

3

，BF₂=BF₁+F₁F₂=

4 3

3

+

4 3

3

=

8 3

3

，
故BF的長為

4 3

3

或

8 3

3

．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，三角形的面積，等邊三角形的判定與性質，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質，熟練掌握等底等高的三角形的面積相等，以及全等三角形的面積相等是解題的關鍵，（3）要注意符合條件的點F有兩個．