Question

16．（1）已知關于x的一元二次方程x²-4x+m-1=0有兩個相等的實數(shù)根，求m的值及方程的根．
（2）如圖，已知?ABCD，E、F是對角線BD上的兩點，且BE=DF
①求證：四邊形AECF是平行四邊形；
②當AE垂直平分BC且四邊形AECF為菱形時，直接寫出AE：AB的值．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)原方程根的情況，利用根的判別式求出m的值，即可確定原一元二次方程，進而可求出方程的根，
（2）①連接AC交BD于點O，根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分可得OA=OC，OB=OD，然后求出OE=OF，再根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形即可證明；
②根據(jù)菱形的對角線互相垂直可得AC⊥EF，從而得到AC⊥BD，所以?ABCD需要滿足是菱形，即鄰邊相等，然后由銳角三角函數(shù)求得．

解答 解：（1）由題意可知△=0，即（-4）²-4（m-1）=0，解得m=5．
當m=5時，原方程化為x²-4x+4=0．解得x₁=x₂=2．
所以原方程的根為x₁=x₂=2；
（2）①證明：如圖，連接AC交BD于點O，
在?ABCD中，OA=OC，OB=OD，
∵BE=DF，
∴OB-BE=OD-DF，
即OE=OF，
∴四邊形AECF是平行四邊形；
②當AE垂直平分BC且四邊形AECF為菱形時，
AC垂直平分EF，
∴?ABCD是菱形，
∴AB=BC，
設AE交BC于H，
∴AH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB，EH=$\frac{\sqrt{3}}{6}$AB，
∴AE=AH-EH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AB，
∴AE：AB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了一元二次方程根的情況與判別式△的關系：菱形的判定，平行四邊形的判定，主要利用了對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，鄰邊相等的平行四邊形是菱形，作出輔助線是解題的關鍵．