Question

5．閱讀下面問(wèn)題：$\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\frac{1×（\sqrt{2}-1）}{（\sqrt{2}+1）（\sqrt{2}-1）}$=$\sqrt{2}-1$
$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{（\sqrt{3}+\sqrt{2}）（\sqrt{3}-\sqrt{2}）}$=$\sqrt{3}-\sqrt{2}$
$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{（\sqrt{4}+\sqrt{3}）（\sqrt{4}-\sqrt{3}）}$=$\sqrt{4}-\sqrt{3}$
…
（1）通過(guò)以上計(jì)算，觀察規(guī)律，寫(xiě)出第n個(gè)式子$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$．
（2）試求$\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+…+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平方差公式分母有理化，歸納規(guī)律；
（2）根據(jù)（1）中的規(guī)律進(jìn)行分母有理化，運(yùn)算即可．

解答 解：（1）$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$，
故答案為：$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$；

（2）原式=$\sqrt{2}-1$+$\sqrt{3}-\sqrt{2}$+…$\sqrt{100}$-$\sqrt{99}$
=$-1+\sqrt{100}$
=-1+10
=9．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了運(yùn)用平方差公式進(jìn)行分母用理化，理解分母有理化，發(fā)現(xiàn)（1）中的規(guī)律是解決此題的關(guān)鍵．