Question

4．《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中有下列問題“今有勾八步，股十五步，問勾中容圓徑幾何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角邊）長為8步，股（長直角邊）長為15步，問該直角三角形能容納的圓形（內切圓）直徑是6步．

Answer 1

分析 設三角形△ABC，由勾股定理可求得直角三角形的斜邊，設內切圓的半徑為r，由S_△ABC=$\frac{1}{2}$（AB+BC+CA）•r可求得半徑，則可求得直徑．

解答 解：
設三角形為△ABC，∠C=90°，AC=8，BC=15，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+1{5}^{2}}$=17，
設內切圓的半徑為r，則S_△ABC=$\frac{1}{2}$（AB+BC+CA）•r，
∴$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$（AB+BC+CA）•r，即$\frac{1}{2}$×8×15=$\frac{1}{2}$×（8+15+17）•r，
解得r=3，
∴內切圓的直徑是6步，
故答案為：6．

點評 本題主要考查三角形的內切圓，利用等積法得到關于內切圓半徑的方程是解題的關鍵．