Question

9．如圖，一架長2米的梯子AB斜靠在與地面OM垂直的墻壁ON上，梯子與地面的傾斜角α為60°．當(dāng)A點(diǎn)下滑到A′點(diǎn)，B點(diǎn)向右滑行到B′點(diǎn)時(shí)，梯子AB的中點(diǎn)P也隨之運(yùn)動(dòng)到P′點(diǎn)．若∠POP′=15°，則AA′的長$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 在Rt△AOB中，先求OB、OA的長，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可知：PA=PO，P′A′=P′O，由等邊對(duì)等角得：∠AOP=∠PAO，∠OA′P′=∠A′OP′，由∠POP′=15°求得∠OA′P′=45°，根據(jù)三角函數(shù)求AA′=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$．

解答 解：在Rt△AOB中，
∵∠AOB=90°，α=∠ABO=60°，
∴∠OAB=30°，
∴OB=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×2=1，OA=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∵P、P′分別是AB、A′B′的中點(diǎn)，
∴PA=PO，P′A′=P′O，
∴∠AOP=∠PAO，∠OA′P′=∠A′OP′，
∴∠POP′=∠A′OP′-∠AOP=∠OA′P′-∠PAO，
∵∠POP′=15°
∴∠OA′P′-∠PAO=15°，
∵∠PAO=30°，
∴∠OA′P′=45°，
∴cos∠OA′P′=cos45°=$\frac{OA′}{A′B′}$，
∴OA′=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×2=$\sqrt{2}$，
∴AA′=OA-OA′=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$，
故答案為：$\sqrt{3}-\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是勾股定理的應(yīng)用，考查了勾股定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用，本題是梯形問題，要明確無論梯形如何移動(dòng)，梯子的長不變．