Question

4．如圖①，點(diǎn)A′，B′的坐標(biāo)分別為（2，0）和（0，-4），將△A′B′O繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得△ABO，點(diǎn)A'的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)A，點(diǎn)B′的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)B．
（1）寫出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）將△ABO沿著垂直于x軸的線段CD折疊，（點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)D不與A，B重合）如圖②，使點(diǎn)B落在x軸上，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E．設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，0），△CDE與△ABO重疊部分的面積為S．
（Ⅰ）試求出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式（包括自變量x的取值范圍）； 
（Ⅱ）是否存在這樣的點(diǎn)C，使得△ADE為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以得到OA=OA′，OB=OB′，則A，B的坐標(biāo)就可以得到．
（2）（Ⅰ）OB=4，C點(diǎn)的位置應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)C在OB的中點(diǎn)或在中點(diǎn)與B之間時(shí)，重合部分是△CDE；當(dāng)C在OB的中點(diǎn)與O之間時(shí)，重合部分是梯形，就可以得到函數(shù)解析式．
（Ⅱ）分△ADE以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)和△ADE以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)的兩種情況進(jìn)行討論．根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，求出OE的長(zhǎng)，就可以得到C點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A′，B′的坐標(biāo)分別為（2，0）和（0，-4），將△A′B′O繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得△ABO，點(diǎn)A'的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)A，點(diǎn)B′的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)B，
∴A（0，2），B（4，0）；

（2）（Ⅰ）①點(diǎn)E在原點(diǎn)和x軸正半軸上時(shí)，重疊部分是△CDE．
則S_△CDE=$\frac{1}{2}$BC×CD=$\frac{1}{2}$（4-x）（-$\frac{1}{2}$x+2）=$\frac{1}{4}$x²-2x+4，
當(dāng)E與O重合時(shí)，CE=$\frac{1}{2}$BO=2，
∴2≤x＜4；
②當(dāng)E在x軸的負(fù)半軸上時(shí)，設(shè)DE與y軸交于點(diǎn)F，則重疊部分為梯形
∵△OFE∽△OAB，
∴$\frac{OF}{OE}$=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{1}{2}$，
∴OF=$\frac{1}{2}$OE，
又∵OE=4-2x，
∴OF=$\frac{1}{2}$（4-2x）=2-x
∴S四邊形CDFO=$\frac{x}{2}$×[2-x+（-$\frac{1}{2}$x+2）]=-$\frac{3}{4}$x²+2x，
當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)O重合時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，0），
∴0＜x＜2．
綜合①②得S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}{x}^{2}-2x+4（2≤x＜4）}\\{-\frac{3}{4}{x}^{2}+2x（0＜x＜2）}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）存在，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，0）和（$\frac{5}{2}$，0）．
解：①如圖，當(dāng)△ADE以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，作AE⊥AB交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)E，

∵△AOE∽△BOA
∴$\frac{EO}{AO}$=$\frac{AO}{BO}$=$\frac{1}{2}$，
∵AO=2，
∴EO=1，
∴點(diǎn)E坐標(biāo)為（-1，0），
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，0）；
②當(dāng)△ADE以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)時(shí)，
同樣有△AOE∽△BOA，
$\frac{EO}{AO}$=$\frac{AO}{BO}$=$\frac{1}{2}$，
∴EO=1，
∴E（1，0）．
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)（$\frac{5}{2}$，0）．
綜合①②知滿足條件的點(diǎn)C坐標(biāo)有（$\frac{3}{2}$，0）和（$\frac{5}{2}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了幾何變換綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：幾何圖形的面積計(jì)算，相似三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊的比相等，以及分類思想的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．