Question

18．如圖，已知拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對稱軸與拋物線交于點(diǎn)P、與直線BC相交于點(diǎn)M，連接PB．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）在（1）中位于第一象限內(nèi)的拋物線上是否存在點(diǎn)D，使得△BCD的面積最大？若存在，求出D點(diǎn)坐標(biāo)及△BCD面積的最大值；若不存在，請說明理由．
（3）在（1）中的拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得△QMB與△PMB的面積相等？若存在，直接寫出滿足條件的所有點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得答案；
（2）根據(jù)面積的和差，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；
（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得P到BC與Q到BC的距離相等，可得QP的解析式，根據(jù)解方程組，可得答案．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{-1+b+c=0}\\{-9+3b+c=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
則拋物線的解析式為y=-x²+2x+3
（2）如圖1，
設(shè)D（t，-t²+2t+3），過點(diǎn)D作DH⊥x軸，
則S_△BCD=S_梯形OCDH+S_△BDH-S_△BOC
=$\frac{1}{2}$（-t²+2t+3+3）t+$\frac{1}{2}$（3-t）（-t²+2t+3）-$\frac{1}{2}$×3×3
=-$\frac{3}{2}$t²+$\frac{9}{2}$t，
∵-$\frac{3}{2}$＜0，
∴當(dāng)t=-$\frac{\frac{9}{2}}{2×（-\frac{3}{2}）}$=$\frac{3}{2}$時，△BCD面積的最大值是$\frac{27}{8}$，
此時D點(diǎn)坐標(biāo)是（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）；
（3）如圖2，
在（1）中的拋物線上存在點(diǎn)Q，使得△QMB與△PMB的面積相等，
設(shè)過點(diǎn)P與BC平行的直線與拋物線的交點(diǎn)為Q，
∵P點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，4），直線BC的解析式為y=-x+3，
∴過點(diǎn)P與BC平行的直線為y=-x+5，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+5}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$得Q的坐標(biāo)為（2，3），
∵PM的解析式為x=1，直線BC的解析式為y=-x+3，
∴M的坐標(biāo)為（1，2），
設(shè)PM與x軸交于點(diǎn)E，
∵PM=EM=2，
∴過點(diǎn)E與BC平行的直線為y=-x+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3+\sqrt{17}}{2}}\\{y=-\frac{1+\sqrt{17}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3-\sqrt{17}}{2}}\\{y=-\frac{1-\sqrt{17}}{2}}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，-$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$），（$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，-$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$）．
∴使得△QMB與△PMB的面積相等的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，3），（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，-$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$），（$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，-$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$）．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，解（1）的關(guān)鍵是待定系數(shù)法，解（2）的關(guān)鍵是利用面積的和差得出二次函數(shù)的解析式，又利用了二次函數(shù)的性質(zhì)；解（3）的關(guān)鍵是利用平行線的間的距離相等得出平行BC且與BC的距離等于P到BC的距離，又利用了解方程組．