Question

13．如圖甲，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°．點(diǎn)D為射線BC上一動點(diǎn)，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF．

解答下列問題：
（1）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時（與點(diǎn)B不重合），如圖甲，線段CF、BD之間的位置關(guān)系為垂直，數(shù)量關(guān)系為相等．
（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時，如圖乙，①中的結(jié)論是否仍然成立，為什么？

Answer 1

分析 （1）結(jié)論：垂直，相等．只要證明△BAD≌△CAF（SAS），推出CF=BD，推出∠B=∠ACF，推出∠B+∠BCA=90°，推出∠BCA+∠ACF=90°即可；
（2）結(jié)論不變．證明方法類似；

解答 解：（1）結(jié)論：垂直，相等．
理由∵四邊形ADEF是正方形，
∴∠DAF=90°，AD=AF，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAF+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴CF=BD，
∴∠B=∠ACF，
∴∠B+∠BCA=90°，
∴∠BCA+∠ACF=90°，
即CF⊥BD；
故答案為：垂直，相等；

（2）當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長線上時①中的結(jié)論仍成立．
理由：∵四邊形ADEF是正方形，
∴∠DAF=90°，AD=AF，
∴∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAF+∠DAC，
即∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴CF=BD，
∴∠B=∠ACF，
∵∠B+∠BCA=90°，
∴∠BCA+∠ACF=90°，
即CF⊥BD．

點(diǎn)評 此題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)，正確尋找全等三角形的條件是解題的關(guān)鍵是，屬于中考�？碱}型．