Question

20．正方形ABCD的四個頂點都在⊙O上，E是⊙O上的一點．
（1）如圖①，若點E在弧$\widehat{AB}$上，F(xiàn)是DE上的一點，DF=BE．求證：△ADF≌△ABE；
（2）在（1）的條件下，探究線段DE、BE、AE之間滿足的等量關系并說明理由；
（3）如圖②，若點E在弧$\widehat{AD}$上，寫出線段DE、BE、AE之間的等量關系．（不必證明）

Answer 1

分析 （1）中易證AD=AB，EB=DF，所以只需證明∠ADF=∠ABE，利用同弧所對的圓周角相等不難得出，從而證明全等；
（2）DE-BE=$\sqrt{2}$AE，易證△AEF是等腰直角三角形，所以EF=$\sqrt{2}$AE，所以只需證明DE-BE=EF即可，由BE=DF不難證明此問題；
（3）BE-DE=$\sqrt{2}$AE，類比（2）的思路不難得出的結論．

解答 解：
（1）證明：在正方形ABCD中，AB=AD，
∵∠1和∠2都對$\widehat{AE}$，
∴∠1=∠2，
在△ADF和△ABE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠1=∠2}\\{BE=DF}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△ABE（SAS）；
（2）DE-BE=$\sqrt{2}$AE，理由如下：
由（1）有△ADF≌△ABE，
∴AF=AE，∠3=∠4．
在正方形ABCD中，∠BAD=90°．
∴∠BAF+∠3=90°．
∴∠BAF+∠4=90°．
∴∠EAF=90°．
∴△EAF是等腰直角三角形．
∴EF²=AE²+AF²．
∴EF²=2AE²．
∴EF=$\sqrt{2}$AE．
即DE-DF=$\sqrt{2}$AE．
∴DE-BE=$\sqrt{2}$AE．

（3）BE-DE=$\sqrt{2}$AE．理由如下：
在BE上取點F，使BF=DE，連接AF．
易證△ADE≌△ABF，
∴AF=AE，∠DAE=∠BAF．
在正方形ABCD中，∠BAD=90°．
∴∠BAF+∠DAF=90°．
∴∠DAE+∠DAF=90°．
∴∠EAF=90°．
∴△EAF是等腰直角三角形．
∴EF²=AE²+AF²．
∴EF²=2AE²．
∴EF=$\sqrt{2}$AE．
即BE-BF=$\sqrt{2}$AE．
∴BE-DE=$\sqrt{2}$AE．

點評 本題主要考查了和圓有關的綜合性題目，用到的知識點有圓周角定理、全等三角形的判定及勾股定理、等腰直角三角形的判斷和性質，難度適中，熟記和圓有關的各種性質定理和判斷定理是解題的關鍵．