Question

7．教材的《課題學(xué)習(xí)》要求同學(xué)們用一張正三角形紙片折疊成正六邊形，小明同學(xué)按照如下步驟折疊：

請你根據(jù)小明同學(xué)的折疊方法，回答以下問題：
（1）如果設(shè)正三角形ABC的邊長為a，那么CO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a（用含a的式子表示）；
（2）根據(jù)折疊性質(zhì)可以知道△CDE的形狀為等邊三角形；
（3）請同學(xué)們利用（1）、（2）的結(jié)論，證明六邊形KHGFED是一個(gè)六邊形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)折疊的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（3）由（2）知△CDE為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到CD=CE=DE=$\frac{1}{2}$CO÷cos30°=$\frac{1}{3}$a，
求得∠ADE=∠BED=120°，同理可得，AH=AK=KH=$\frac{1}{3}$a，BG=BF=GF=$\frac{1}{3}$a，∠CKH=∠BHK=120°，由于AB=BC=AC=a，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵正三角形ABC的邊長為a，
由折疊的性質(zhì)可知，點(diǎn)O是三角形的重心，
∴CO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a；
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{3}$a；
（2）△CDE為等邊三角形；
故答案為：等邊；
（3）由（2）知△CDE為等邊三角形，
∴CD=CE=DE=$\frac{1}{2}$CO÷cos30°=$\frac{1}{3}$a，
∠ADE=∠BED=120°，
同理可得，AH=AK=KH=$\frac{1}{3}$a，BG=BF=GF=$\frac{1}{3}$a，∠CKH=∠BHK=120°，
∵AB=BC=AC=a，
∴DE=DK=KH=HG=GF=FE=$\frac{1}{3}$a，∠ADE=∠BED=∠CKH=∠BHK=∠CFG=∠AGF=120°，
∴六邊形KHGFED是一個(gè)正六邊形．

點(diǎn)評 本題考查了正多形與圓，折疊的性質(zhì)，三角形的重心的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握各定理是解題的關(guān)鍵．