Question

1．如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，-$\frac{9}{2}$），且與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0），P點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且橫坐標(biāo)為m．
（1）求該拋物線所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）是否存在這樣的點(diǎn)P，使得∠PAO=45°？若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，△ACP的面積的最大值為3，請(qǐng)直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）用頂點(diǎn)式設(shè)出拋物線解析式，把點(diǎn)A（4，0）的坐標(biāo)代入后求出拋物線解析式；
（2）根據(jù)已知條件求出直線PA解析式為y=-x+4，從而求出點(diǎn)P坐標(biāo)；
（3）設(shè)出直線l解析式，利用勾股定理求出AH，然后建立不等式，解不等式即可．

解答 解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=a（x-1）²-$\frac{9}{2}$，
∵A（4，0）在拋物線上，
∴0=9a-$\frac{9}{2}$，
∴a=$\frac{1}{2}$，
∴拋物線解析式為y=$\frac{1}{2}$（x-1）²-$\frac{9}{2}$=$\frac{1}{2}$x²-x-4，
（2）∵C（0，-4），A（0，4），
∴AO=CO，
∴∠CAO=45°，
∴P（0，-4），
當(dāng)PA⊥AC時(shí)，∠CAO=45°，
∴∠PAO=45°，
∴直線PA解析式為y=-x+4，
∴$\frac{1}{2}$x²-x-4=-x+4，
∴x=±4，
∴P（-4，8）；
（3）如圖，

∵A（4，0），C（0，-4），
∴直線AC解析式為y=x-4，
作l∥AC，交x軸于E，作AH⊥l，
∴直線l的解析式為y=x+b，
直線l交x軸于E（-b，0），
∴AE=|4+b|，
∵∠HEA=45°，
∴AH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$|4+b|，
∵△ACP的面積的最大值為3，
∴$\frac{1}{2}$×AC×AH≤3，
∴$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$|4+b|≤3，
∴|4+b|≤$\frac{3}{2}$，
∴-$\frac{11}{2}$≤b≤-$\frac{5}{2}$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=m+b}\\{y=\frac{1}{2}{m}^{2}-m-4}\end{array}\right.$，
∴b=$\frac{1}{2}$m²-m-4，
∴-$\frac{11}{2}$≤$\frac{1}{2}$m²-m-4≤-$\frac{5}{2}$，
∴2-$\sqrt{7}$≤m≤1或3≤m≤2+$\sqrt{7}$，
當(dāng)m=0，m=4時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)A，C分別重合，不符合題意，
∴2-$\sqrt{7}$≤m≤1（m≠0）或3≤m≤2+$\sqrt{7}$（m≠4）．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法確定拋物線解析式，兩點(diǎn)間的距離公式，三角形面積的計(jì)算，解本題的關(guān)鍵是確定函數(shù)解析式，難點(diǎn)是解一元二次不等式．