Question

10．△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，將△ABC沿射線BC方向平移得到△A′B′C′，使得B′C=4，連結(jié)A′C，則△A′B′C的周長為12或8+4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 分類討論：當(dāng)點(diǎn)B′在線段BC上，如圖1，根據(jù)平移的性質(zhì)得AB=A′B′=4，BC=B′C′=6，∠ABC=∠A′B′C′=60°，由于B′C=4，則可判斷△A′B′C為等邊三角形，于是得到△A′B′C的周長為12；
當(dāng)點(diǎn)B′在線段BC上，如圖2，作B′H⊥A′C，根據(jù)平移得性質(zhì)得AB=A′B′=4，∠ABC=∠A′B′C′=60°，則A′B′=B′C=4，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠B′CA=∠B′A′C，CH=A′H，再計(jì)算出∠B′CA′=30°，在Rt△B′CH中利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系求出CH=$\sqrt{3}$B′H=2$\sqrt{3}$，然后計(jì)算△A′B′C的周長．

解答 解：當(dāng)點(diǎn)B′在線段BC上，如圖1，
∵△ABC沿射線BC方向平移得到△A′B′C′，
∴AB=A′B′=4，BC=B′C′=6，∠ABC=∠A′B′C′=60°，
∵B′C=4，
∴A′B′=B′C，
∴△A′B′C為等邊三角形，
∴△A′B′C的周長為12；
當(dāng)點(diǎn)B′在線段BC上，如圖2，作B′H⊥A′C，
∵△ABC沿射線BC方向平移得到△A′B′C′，
∴AB=A′B′=4，∠ABC=∠A′B′C′=60°，
∵B′C=4，
∴A′B′=B′C，
∴∠B′CA=∠B′A′C，CH=A′H，
而∠A′B′C′=∠B′CA=∠B′A′C，
∴∠B′CA′=30°，
在Rt△B′CH中，∵∠B′CH=30°，
∴B′H=$\frac{1}{2}$CB′=2，
∴CH=$\sqrt{3}$B′H=2$\sqrt{3}$，
∴A′C=2CH=4$\sqrt{3}$，
∴△A′B′C的周長=4+4+4$\sqrt{3}$=8+4$\sqrt{3}$．
故答案為12或8+4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平移的性質(zhì)：把一個(gè)圖形整體沿某一直線方向移動(dòng)，會(huì)得到一個(gè)新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同．新圖形中的每一點(diǎn)，都是由原圖形中的某一點(diǎn)移動(dòng)后得到的，這兩個(gè)點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)．連接各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段平行且相等．也考查了等腰三角形的性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)．