Question

8．如圖四邊形ACDE是證明勾股定理時(shí)用到的一個(gè)圖形，a、b、c是Rt△ABC和Rt△BDE的三邊長(zhǎng)，易知AE=$\sqrt{2}$c，這時(shí)我們把形如ax²+$\sqrt{2}$cx+b=0的方程稱為關(guān)于x的“勾系一元二次方程”，請(qǐng)解決下列問(wèn)題：
（1）寫出一個(gè)“勾系一元二次方程”；
（2）證明：關(guān)于x的“勾系一元二次方程”ax²+$\sqrt{2}$cx+b=0必有實(shí)數(shù)根．

Answer 1

分析 （1）直接找一組勾股數(shù)代入方程即可；
（2）通過(guò)判斷根的判別式△的正負(fù)來(lái)證明結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)a=3，b=4，c=5時(shí)，
勾系一元二次方程為3x²+5$\sqrt{2}$x+4=0；

（2）證明：根據(jù)題意，得
△=（$\sqrt{2}$c）²-4ab=2c²-4ab
∵a²+b²=c²
∴2c²-4ab=2（a²+b²）-4ab=2（a-b）²≥0
即△≥0
∴勾系一元二次方程ax²+$\sqrt{2}$cx+b=0必有實(shí)數(shù)根．

點(diǎn)評(píng) 此類題目要讀懂題意，根據(jù)題目中所給的材料結(jié)合勾股定理和根的判別式解題．