Question

6．在Rt△ABC中，AC=6cm，BC=8cm，點P由點A出發(fā)，沿AC方向運動，速度為2cm/s；同時點Q由AB中點D出發(fā)，沿DB向B運動，速度為1cm/s；連接PQ，若設(shè)運動時間為t（s） （0＜t≤3）．
（1）若設(shè)△APQ的面積為y（cm²），求y與t函數(shù)關(guān)系式．
（2）是否存在某一時刻t使△APQ的面積與四邊形BCPQ的面積比是7：8？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．
（3）連接DP得到△DPQ，那么是否存在某一時刻t，使點D在PQ的垂直平分線上？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）過Q做QM⊥AC于M，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=10cm，根據(jù)三角形相似即可得到答案；
（2））由△APQ的面積與四邊形BCPQ的面積比是7：8，得到S_△APQ：S_△ABC=7：15，列方程$\frac{4}{5}$t²+4t=$\frac{7}{15}$×$\frac{1}{2}×6×8$，求得t=2；
（3）當(dāng)點D在PQ的垂直平分線上時，PD=QD，過點D作DN⊥AC于N，列方程得到方程無解，所以不存在某一時刻t，使點D在PQ的垂直平分線上．

解答 解：（1）過Q做QM⊥AC于M，如圖1，
∵Rt△ABC中，
AC=6cm，BC=8cm，
由勾股定理得：AB=10cm，
∵點P由點A出發(fā)，沿AC方向運動，速度為2cm/s；同時點Q由AB中點D出發(fā)，沿DB向B運動，速度為1cm/s，
∴AC=2t，AQ=5+t，
∵QM⊥AC，BC⊥AC，
∴QM∥BC，
∴△AQM∽△ABC，
∴$\frac{QM}{BC}=\frac{AQ}{AB}$，
即$\frac{QM}{8}=\frac{5+t}{10}$，
解得：QM=4+$\frac{4}{5}t$，
∴y=$\frac{1}{2}$AP•QM=$\frac{1}{2}$×2t（4+$\frac{4}{5}$t），
即y=$\frac{4}{5}$t²+4t；

（2）存在，
∵△APQ的面積與四邊形BCPQ的面積比是7：8，
∴S_△APQ：S_△ABC=7：15，
∴$\frac{4}{5}$t²+4t=$\frac{7}{15}$×$\frac{1}{2}×6×8$，
解得：t=2，（負(fù)值舍去），
∴當(dāng)t=2時，△APQ的面積與四邊形BCPQ的面積比是7：8；

（3）如圖2，當(dāng)點D在PQ的垂直平分線上時，PD=QD，
過點D作DN⊥AC于N，
則DN=$\frac{1}{2}$BC=4，PN=2t-3，
∴PD=$\sqrt{{4}^{2}{+（2t-3）}^{2}}$，
∴t=$\sqrt{{4}^{2}{+（2t-3）}^{2}}$，
化整式方程為：3t²-12t+25=0，
∵△=12²-4×3×5＜0，
∴方程無解，
∴不存在某一時刻t，使點D在PQ的垂直平分線上．

點評 本題考查了動點問題，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，一元二次解的情況，正確的畫出圖形是解題的關(guān)鍵．