Question

1．如圖，梯形OABC中，CB∥OA，O為坐標(biāo)原點，B（2，4），C（0，4），tan∠BAO=2，動點Q 從點O出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿線段OA運動，到點A停止，過點Q作OP⊥x軸交折線C-B-A于點P，以PQ為一邊向左作正方形PQRS，設(shè)運動時間為t （秒），正方形PQRS與梯形OABC重疊的面積為S（平方單位）．
（1）求點A的坐標(biāo)．
（2）求S與t的函數(shù)關(guān)系式．
（3）求（2）中的S的最大值．

Answer 1

分析 （1）過B作BH垂直于OA，在直角三角形ABH中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出tan∠BAO，進(jìn)而確定出OA的長，得到A的坐標(biāo)即可；
（2）令t=2（4-t），求出t的值，根據(jù)t的范圍分三種情況考慮：當(dāng)0≤t≤2時；當(dāng)2＜t≤$\frac{8}{3}$時；當(dāng)$\frac{8}{3}$＜t≤4時，分別找出S與t的函數(shù)解析式即可；
（3）根據(jù)（2）的解析式，利用一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)求出S的最大值即可．

解答 解：（1）過點B作BH⊥OA于點H，
∵tan∠BAO=2，B（2，4），即BH=4，OH=2，
∴∠BAO=$\frac{BH}{AH}$=$\frac{4}{OA-OH}$=$\frac{4}{OA-2}$=2，
∴OA=4，
∴A（4，0）；
（2）令t=2（4-t），解得：t=$\frac{8}{3}$；
當(dāng)0≤t≤2時，S=4t；
當(dāng)2＜t≤$\frac{8}{3}$時，S=t（8-2t）=-2t²+8t；
當(dāng)$\frac{8}{3}$＜t≤4時，S=（8-2t）²=4t²-32t+64；
（3）當(dāng)0≤t≤2時，當(dāng)t=2時，S有最大值8；
當(dāng)2＜t≤$\frac{8}{3}$時，當(dāng)t=2時，S有最大值8，∴S＜8
當(dāng)$\frac{8}{3}$＜t≤4時，當(dāng)t=$\frac{8}{3}$時，S有最大值$\frac{64}{9}$，∴S＜$\frac{64}{9}$＜8，
綜上，S的最大值為8．

點評 此題屬于四邊形綜合題，涉及的知識有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)，利用了分類討論的思想，分類討論時要做到不重不漏，考慮問題要全面．