Question

11．如圖，已知等邊△ABC的邊長為a，點P是BC邊上一動點，以AP為邊作等邊△APQ，邊PQ交AC于點O，連接CQ，
（1）求證：△ABP≌△ACQ；
（2）若點D是AQ的中點，當(dāng)點P由點B運動到點C時，點D運動路線的長為$\frac{1}{2}$a（直接寫出結(jié)果）；
（3）當(dāng)BP=$\frac{1}{3}$a時，求$\frac{AP}{PO}$的值．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠BAC=∠PAQ=60°，AB=AC，AP=AQ，再由SAS定理即可得出結(jié)論；
（2）直接根據(jù)三角形中位線定理即可得出結(jié)論；
（3）先根據(jù)題意得出∠BAP=∠CPO，再由∠B=∠PCO可知△ABP∽△PCO，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵△ABC與△APQ是等邊三角形，
∴∠BAC=∠PAQ=60°，AB=AC，AP=AQ，
∴∠BAP=∠QAC，
在△ABP與△ACQ中，
$\left\{\begin{array}{l}AB=AC\\∠BAP=∠CAQ\\ AP=AQ\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△ACQ（SAS）；

（2）解：∵當(dāng)點P由點B運動到點C時，D為AQ的中點，
∴PD的運動路線為△ACQ的中位線即為$\frac{1}{2}$a．
故答案為：$\frac{1}{2}$a；

（3）解：∵∠APC=60°+∠CPQ，∠APC=∠B+∠BAP=60°+∠BAP，
∴∠BAP=∠CPO．
∵∠B=∠PCO，
∴△ABP∽△PCO，
∴$\frac{AB}{PC}$=$\frac{AP}{OP}$=$\frac{a}{a-\frac{1}{3}a}$=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{AP}{PO}$=$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查的是相似形綜合題，涉及到等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，難度適中．