Question

7．（1）如圖1，已知△ABC，以AB、AC為邊分別向外作正方形ABFD和正方形ACGE，連結BE、CD，猜想BE與CD有什么數(shù)量關系？并說明理由；
（2）請模仿正方形情景下構造全等三角形的思路，利用構造全等三角形完成下題：如圖2，要測量池塘兩岸相對的兩點B、E的距離，已經(jīng)測得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的長（結果保留根號）．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性質(zhì)就可以得出△ADC≌△ABE，就可以得出CD=BE；
（2）在AB的外側作AD⊥AB，使AD=AB，連結CD，BD，就可以得出△ADC≌△ABE，就有CD=BE，在Rt△CDB中由勾股定理就可以求出CD的值，進而得出結論．

解答 解：（1）CD=BE．
理由：如圖①∵四邊形ABFD和四邊形ACGE都是正方形，
∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE=90°，
∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE．
在△ADC和△ABE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAC=∠BAE}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴CD=BE；

（2）如圖②，在AB的外側作AD⊥AB，使AD=AB，連結CD，BD，
∴∠DAB=90°，
∴∠ABD=∠ADB=45°．
∵∠ABC=45°，
∴∠ABD+∠ABC=45°+45°=90°，
即∠DBC=90°．
∴∠CAE=90°，
∴∠DAB=∠CAE，
∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
即∠DAC=∠BAE．
在△ADC和△ABE中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAC=∠BAE}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴CD=BE．
∵AB=100m，在直角△ABD中，由勾股定理，得
BD=100$\sqrt{2}$．
∴CD=$\sqrt{10{0}^{2}+（100\sqrt{2}）^{2}}$=100$\sqrt{3}$，
∴BE=CD=100$\sqrt{3}$，
答：BE的長為100$\sqrt{3}$米．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)的運用，等式的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，勾股定理的運用，等腰直角三角形的性質(zhì)的運用，解答時證明三角形全等是關鍵．