Question

9．已知在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（20，0），（20，10）．P、Q分別為線段OB、OA上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PQ+PA最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（12，6）．

Answer 1

分析 如圖，作A關(guān)于OB的對稱點(diǎn)A′，AA′交OB于H，作A′Q′⊥OA于Q′，A′Q′交OB于P′，此時(shí)P′A+P′Q′的值最小，求出P′的坐標(biāo)即可解決問題．

解答 解：如圖，作A關(guān)于OB的對稱點(diǎn)A′，AA′交OB于H，作A′Q′⊥OA于Q′，A′Q′交OB于P′，此時(shí)P′A+P′Q′的值最�。�

在Rt△OAB中，∵OA=20，AB=10，
∴OB=$\sqrt{A{B}^{2}+O{A}^{2}}$=10$\sqrt{5}$，
∵$\frac{1}{2}$•AB•OA=$\frac{1}{2}$•OB•AH，
∴AH=4$\sqrt{5}$，
∴AA′=2AH=8$\sqrt{5}$，
由△AA′Q′∽△BOA可得，$\frac{AQ′}{AB}$=$\frac{AA′}{OB}$，
∴$\frac{AQ′}{10}$=$\frac{8\sqrt{5}}{10\sqrt{5}}$，
∴AQ′=8，
∴OQ′=OA-AQ′=12，
∵tan∠BOA=$\frac{P′Q′}{OQ′}$=$\frac{AB}{OA}$，
∴$\frac{P′Q′}{10}$=$\frac{12}{20}$，
∴P′Q′=6，
∴P′（12，6）．
∴當(dāng)PQ+PA最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（12，6）

點(diǎn)評 本題考查軸對稱-最短問題、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用的長解決最值問題，屬于中考�？碱}型．